一元二次函數重要知識點總結

二次函數的基本表示形式為y=ax2+bx+c(a≠0)。二次函數最高次必須為二次，二次函數的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。

二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

二次函數的表達式

（一）頂點式

y=a(x-h)2+k（a≠0，a、h、k為常數），頂點坐標為（h,k)，對稱軸為直線x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數y=ax2的圖像相同，當x=h時，y最大（小）值=k。

（二）交點式

y=a(x-x?)(x-x?) [僅限于與x軸即y=0有交點時的拋物線，即b2-4ac＞0]

函數與圖像交于（x?，0)和(x?，0)

（三）一般式

y=aX2+bX+c=0（a≠0）（a、b、c是常數）

一元二次函數圖像的對稱關系

(一)對于一般式：

①y=ax²+bx+c與y=ax²-bx+c兩圖像關于y軸對稱。

②y=ax²+bx+c與y=-ax²-bx-c兩圖像關于x軸對稱。

③y=ax²+bx+c與y=-ax²-bx+c-b²/2a關于頂點對稱。

④y=ax²+bx+c與y=-ax²+bx-c關于原點中心對稱。(即繞原點旋轉180度后得到的圖形)

(二)對于頂點式：

①y=a(x-h)²+k與y=a(x+h)²+k兩圖像關于y軸對稱，即頂點(h,k)和(-h,k)關于y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。

②y=a(x-h)²+k與y=-a(x-h)²-k兩圖像關于x軸對稱，即頂點(h,k)和(h,-k)關于x軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。

③y=a(x-h)²+k與y=-a(x-h)²+k關于頂點對稱，即頂點(h,k)和(h,k)相同，開口方向相反。

④y=a(x-h)²+k與y=-a(x+h)²-k關于原點對稱，即頂點(h,k)和(-h,-k)關于原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。

二次函數的平移規律口訣

上加下減，左加右減

y=a(x+b)2+c，是將y=ax2的二次函數圖像按以下規律平移

(1)c>0時，圖像向上平移c個單位(上加上)。

(2)c<0時，圖像向下平移c個單位(下減)。

(3)b>0時，圖像向左平移b個單位(左加)。

(4)b<0時，圖像向右平移b個單位(右減)。