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線平行于面能推出什么

2020-06-24 14:31:32文/顏雨

一條直線和一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。一條直線與一個平面平行,則該直線垂直于此平面的垂線。線面平行通常采用構造平行四邊形來求證。

線平行于面能推出什么

定理1.平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行。

已知:a∥b,a?α,b?α,求證:a∥α

反證法證明:假設a與α不平行,則它們相交,設交點為A,那么A∈α

∵a∥b,∴A不在b上

在α內過A作c∥b,則a∩c=A

又∵a∥b,b∥c,∴a∥c,與a∩c=A矛盾。

∴假設不成立,a∥α

向量法證明:設a的方向向量為a,b的方向向量為b,面α的法向量為p。∵b?α

∴b⊥p,即p·b=0

∵a∥b,由共線向量基本定理可知存在一實數k使得a=kb

那么p·a=p·kb=kp·b=0

即a⊥p

∴a∥α

定理1

定理2.平面外一條直線與此平面的垂線垂直,則這條直線與此平面平行。

已知:a⊥b,b⊥α,且a不在α上。求證:a∥α

證明:設a與b的垂足為A,b與α的垂足為B。

假設a與α不平行,那么它們相交,設a∩α=C,連接BC由于不在直線上的三個點確定一個平面,因此ABC首尾相連得到△ABC

∵B∈α,C∈α,b⊥α

∴b⊥BC,即∠ABC=90°

∵a⊥b,即∠BAC=90°

∴在△ABC中,有兩個內角為90°,這是不可能的事情。

∴假設不成立,a∥α。

定理2

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