一條直線和一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。一條直線與一個平面平行,則該直線垂直于此平面的垂線。線面平行通常采用構造平行四邊形來求證。
定理1.平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行。
已知:a∥b,a?α,b?α,求證:a∥α
反證法證明:假設a與α不平行,則它們相交,設交點為A,那么A∈α
∵a∥b,∴A不在b上
在α內過A作c∥b,則a∩c=A
又∵a∥b,b∥c,∴a∥c,與a∩c=A矛盾。
∴假設不成立,a∥α
向量法證明:設a的方向向量為a,b的方向向量為b,面α的法向量為p。∵b?α
∴b⊥p,即p·b=0
∵a∥b,由共線向量基本定理可知存在一實數k使得a=kb
那么p·a=p·kb=kp·b=0
即a⊥p
∴a∥α
定理2.平面外一條直線與此平面的垂線垂直,則這條直線與此平面平行。
已知:a⊥b,b⊥α,且a不在α上。求證:a∥α
證明:設a與b的垂足為A,b與α的垂足為B。
假設a與α不平行,那么它們相交,設a∩α=C,連接BC由于不在直線上的三個點確定一個平面,因此ABC首尾相連得到△ABC
∵B∈α,C∈α,b⊥α
∴b⊥BC,即∠ABC=90°
∵a⊥b,即∠BAC=90°
∴在△ABC中,有兩個內角為90°,這是不可能的事情。
∴假設不成立,a∥α。
很多同學都學過平行,那么線面平行的判定定理是什么?用符號語言要怎么寫?大家一起來看看吧。
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