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如何判斷數(shù)列是收斂還是發(fā)散 什么是收斂數(shù)列

2024-01-16 14:39:17文/宋艷平

極限判別法:如果數(shù)列的極限存在,則該數(shù)列收斂;如果數(shù)列的極限不存在或?yàn)闊o窮大,則該數(shù)列發(fā)散。比值判別法:如果數(shù)列的每一項(xiàng)都是正的,且其比值不超過某個(gè)正數(shù),則該數(shù)列絕對收斂;如果該比值趨于無窮大,則該數(shù)列發(fā)散。

如何判斷數(shù)列是收斂還是發(fā)散 什么是收斂數(shù)列

如何判斷數(shù)列是收斂還是發(fā)散

收斂與發(fā)散判斷方法:當(dāng)n無窮大時(shí),判斷Xn是否是常數(shù),是常數(shù)則收斂,加減的時(shí)候,把高階的無窮小直接舍去,乘除的時(shí)候,用比較簡單的等價(jià)無窮小來代替原來復(fù)雜的無窮小來代。

設(shè)數(shù)列{Xn},如果存在常數(shù)a,對于任意給定的正數(shù)q(無論多小),總存在正整數(shù)N,使得n>N時(shí),恒有|Xn-a|求數(shù)列的極限,如果數(shù)列項(xiàng)數(shù)n趨于無窮時(shí),數(shù)列的極限能一直趨近于實(shí)數(shù)a,那么這個(gè)數(shù)列就是收斂的;如果找不到實(shí)數(shù)a,這個(gè)數(shù)列就是發(fā)散的。看n趨向無窮大時(shí),Xn是否趨向一個(gè)常數(shù),可是有時(shí)Xn比較復(fù)雜,并不好觀察。這種是最常用的判別法是單調(diào)有界既收斂。

什么是收斂數(shù)列

收斂數(shù)列是一個(gè)數(shù)學(xué)名詞,設(shè)數(shù)列{Xn},如果存在常數(shù)a(只有一個(gè)),對于任意給定的正數(shù)q(無論多小),總存在正整數(shù)N,使得n>N時(shí),恒有|Xn-a|<q成立,就稱數(shù)列{Xn}收斂于a(極限為a),即數(shù)列{Xn}為收斂數(shù)列。

數(shù)列收斂其實(shí)是個(gè)拓?fù)涞母拍睢R粋€(gè)數(shù)列xn收斂于a意味著對任何包含a的開集,總有一個(gè)足夠大的N使得數(shù)列xn第N項(xiàng)后的尾巴完全包含在該開集內(nèi)。當(dāng)然數(shù)列收不收斂取決于拓?fù)洹1热缈紤]一個(gè)只含全集和空集的拓?fù)洌敲慈魏螖?shù)列都收斂,而且極限是X中任意的元素。

數(shù)列發(fā)散是什么意思

發(fā)散就是不收斂,沒有極限的意思。比如:1,1/2,1/4,1/8……這個(gè)數(shù)列就收斂,極限為0。而1,-1,1,-1,1,-1……,這個(gè)數(shù)列就不收斂,沒有極限,我們說它是發(fā)散的。

數(shù)列是以正整數(shù)集為定義域的函數(shù),是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng),以此類推,排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),通常用an表示。

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