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高階多項式因式分解法 一般方法是什么

2024-01-12 16:27:37文/李可欣

高階多項式因式分解法:1.高階多項式因式分解的一般方法:運用定理。2.與首末兩項等距離的項的系數相等的高階多項式因式分解法的方法。在給定的數域上,把一個多項式分解成若干個不可約多項式的積的形式,叫做多項式的分解因式。

高階多項式因式分解法 一般方法是什么

多項式因式分解的幾種方法

在給定的數域上,把一個多項式分解成若干個不可約多項式的積的形式,叫做多項式的分解因式。多項式的分解因式是一種重要的恒等變形,在初等數學中有著廣泛的應用。在初中代數中,已經學習過提取公因式法、公式法、分組分解法和十字相乘法等基本方法。這些方法要根據多項式的結構特征靈活地加以應用。這里,討論幾種分解因式的其他方法,這里的因式分解都是在有理數域上進行的。

1、用待定系數法分解因式

用待定系數法分解因式,就是按已知條件把原式假設為若干個因式的乘積,使這些因式的乘積與原式組成恒等式,求出各待定系數的值。

例1,分解因式x4-x3-5x2-6x-4

解:設 x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ɑx+b)(x2+cx+d)

=x4+(ɑ+c)x3+(b+ɑc+d)x2+(ɑd+bc)x+bd

比較對應的系數,得ɑ+c=-1b+ɑc+d=-5ɑd+bc=-6bd=-4 ?圳 ɑ=1b=1c=-2d=-4

x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)

2、用余數定理和綜合除法分解因式

多項式f(x)有因式x-ɑ的充要條件是f(ɑ)=0,ɑ就是f(x)的一個有理根。求出f(x)的有理根,就能得到f(x)的一次因式。這一方法的關鍵是如何尋找有理根。

【定理】設f(x)=ɑ0xn+ɑ1xn-1+…ɑn是一個整系數多項式。若有理數是f(x)的一個根(這里u和v是互素的整數),那么v整除f(x)的最高次項系數ɑ0,而u整除f(x)的常數項ɑn 。

高次多項式因式分解的一般方法

定理1:設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一個整系數多項式,如果有理數v/u是它的一個根,其中u與v互素,則u|an,v|a0。特別地,當an=1時,f(x)的有理根都是整數,且為常數項a0的因數。

定理2:若既約分數v/u是整系數多項式f(x)的根,則u-v|f(1),u+v|f(-1)。

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