誰說數學是枯燥的?在數學里,有很多歡樂而又深刻的數學定理和坑爹的數學題,下面和初三網小編一起看一下吧。
喝醉的小鳥
定理:喝醉的酒鬼總能找到回家的路,喝醉的小鳥則可能永遠也回不了家。
假設有一條水平直線,從某個位置出發,每次有 50% 的概率向左走1米,有50%的概率向右走1米。按照這種方式無限地隨機游走下去,最終能回到出發點的概率是多少?答案是100% 。在一維隨機游走過程中,只要時間足夠長,我們最終總能回到出發點。
現在考慮一個喝醉的酒鬼,他在街道上隨機游走。假設整個城市的街道呈網格狀分布,酒鬼每走到一個十字路口,都會概率均等地選擇一條路(包括自己來時的那條路)繼續走下去。那么他最終能夠回到出發點的概率是多少呢?答案也還是 100% 。剛開始,這個醉鬼可能會越走越遠,但最后他總能找到回家路。
不過,醉酒的小鳥就沒有這么幸運了。假如一只小鳥飛行時,每次都從上、下、左、右、前、后中概率均等地選擇一個方向,那么它很有可能永遠也回不到 出發點了。事實上,在三維網格中隨機游走,最終能回到出發點的概率只有大約 34% 。
這個定理是著名數學家波利亞(George Pólya)在 1921 年證明的。隨著維度的增加,回到出發點的概率將變得越來越低。在四維網格中隨機游走,最終能回到出發點的概率是 19.3% ,而在八維空間中,這個概率只有 7.3% 。
“你在這里”
定理:把一張當地的地圖平鋪在地上,則總能在地圖上找到一點,這個點下面的地上的點正好就是它在地圖上所表示的位置。
也就是說,如果在商場的地板上畫了一張整個商場的地圖,那么你總能在地圖上精確地作一個“你在這里”的標記。
1912 年,荷蘭數學家布勞威爾(Luitzen Brouwer)證明了這么一個定理:假設 D 是某個圓盤中的點集,f 是一個從 D 到它自身的連續函數,則一定有一個點 x ,使得 f(x) = x 。換句話說,讓一個圓盤里的所有點做連續的運動,則總有一個點可以正好回到運動之前的位置。這個定理叫做布勞威爾不動點定理(Brouwer fixed point theorem)。
除了上面的“地圖定理”,布勞威爾不動點定理還有很多其他奇妙的推論。如果取兩張大小相同的紙,把其中一張紙揉成一團之后放在另一張紙上,根據布勞威爾不動點定理,紙團上一定 存在一點,它正好位于下面那張紙的同一個點的正上方。
這個定理也可以擴展到三維空間中去:當你攪拌完咖啡后,一定能在咖啡中找到一個點,它在攪拌前后的位置相同(雖然這個點在攪拌過程中可 能到過別的地方)。
不能撫平的毛球
定理:你永遠不能理順椰子上的毛。
想象一個表面長滿毛的球體,你能把所有的毛全部梳平,不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭發一樣的旋嗎?拓撲學告訴你,這是辦不到的。這叫做毛球定理(hairy ball theorem),它也是由布勞威爾首先證明的。用數學語言來說就是,在一個球體表面,不可能存在連續的單位向量場。這個定理可以推廣到更高維的空間:對于任意一個偶數維的球面,連續的單位向量場都是不存在的。
毛球定理在氣象學上有一個有趣的應用:由于地球表面的風速和風向都是連續的,因此由毛球定理,地球上總會有一個風速為 0 的地方,也就是說氣旋和風眼是不可避免的。
說它坑爹,是因為這史上最多人做錯的8道小學數學題!
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