有界數(shù)列一定收斂嗎

有界數(shù)列不一定收斂。例如，已知數(shù)列{(-1)^n}是有界的，但它卻是發(fā)散的。換句話說(shuō)，有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。又例如數(shù)列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|<=1{b(n)}有界，b(n)為擺動(dòng)數(shù)列，但是不收斂。

有界數(shù)列定義

數(shù)列{Xn}滿足：對(duì)一切n有Xn≤M（其中M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）稱(chēng)數(shù)列{Xn}上有界（有上界）并稱(chēng)M是他的一個(gè)上界。

對(duì)一切n有Xn≥m（其中m是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）稱(chēng)數(shù)列{Xn}下有界（有下界）并稱(chēng)m是他的一個(gè)下界。

一個(gè)數(shù)列{Xn}，若既有上界又有下界，則稱(chēng)之為有界數(shù)列。顯然數(shù)列{Xn}有界的一個(gè)等價(jià)定義是：存在正實(shí)數(shù)X，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都滿足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。