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2018年周口中考數學沖刺試題

一、選擇題：每小題3分，共24分

1．﹣的倒數是（　　）

A．﹣3????????????? B．3????????????? C．﹣????????????? D．

2．下列計算正確的是（　　）

A．2x2+x3=3x5????????????? B．（x2）3=x5

C．（m+n）2=m2+n2????????????? D．﹣m2n+2nm2=m2n

3．用配方法解方程x2﹣1=6x，配方后的方程是（　　）

A．（x﹣3）2=9????????????? B．（x﹣3）2=1????????????? C．（x﹣3）2=10????????????? D．（x+3）2=9

4．在數﹣1，0，2中任取兩個數作為點的坐標，那么該點剛好在一次函數y=x+2圖象上的概率是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

5．圖中幾何體的俯視圖是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

6．若點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函數y=圖象上的點，且且x1＜x2＜0＜x3，則下列正確的是（　　）

A．y1＞y2＞y3????????????? B．y2＞y3＞y1????????????? C．y2＞y1＞y3????????????? D．y1＞y3＞y2

7．若關于x的分式方程+=3有增根，則m的值是（　　）

A．m=﹣1????????????? B．m=2????????????? C．m=3????????????? D．m=0或m=3

8．如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點A處安裝了一臺監視器，它的監控角度是70°，為了監控整個展廳，最少需在圓形的邊緣上共安裝這樣的監視器（　　）

A．3臺????????????? B．4臺????????????? C．5臺????????????? D．6臺

二、填空題：每小題3分，共21分

9．已知圓錐的側面積為15πcm2，底面半徑為3cm，則圓錐的高是______．

10．如果線段AB=45cm，點P是線段AB的黃金分割點，那么線段BP=______cm．

11．把拋物線y=x2﹣6x+4的圖象向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是______．

12．一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中∠ABC=______．

13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，AC是弦，AC=4，∠BOC=______°．

14．如圖，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉60°后得到△AO′B′，則點B′的坐標是______．

15．若拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為直線x=5，與x軸一交點為A（3，0），則不等式ax2+bx+c＞0的解集是______．

三、解答題：本大題共8小題，共75分

16．先化簡，再計算：，其中x=．

17．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，求∠FCD的度數．

18．某學校為了解學生進行體育鍛煉的情況，對某班學生每天的體育鍛煉時間進行了統計，并繪制了以下不完整的頻數分布表（如表）和扇形統計圖（如圖），根據圖表中的信息解答下列問題：

（1）求全班學生人數和m的值；

（2）該班學生的體育鍛煉時間的中位數落在______時間段；

（3）請你根據以上信息估計全校5000人中每天體育鍛煉時間不少于50分鐘的人數．

19．如果m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2+2m=3，n2+2n=3，求代數式m2﹣3mn+n2﹣1的值．

20．如圖，在玲玲家住宅樓CD的前面新建了一個大型商場AB，當光線與地面的夾角是22°時，商場在玲玲家樓上留下高2m的影子CE；而當光線與地面的夾角是45°時，商場樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離（B、F、C在一條直線上）．求商場AB的高度．（參考數據：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

21．如圖所示，一次函數y1=kx+b的圖象與反比例函數y2=的圖象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）兩點．

（1）試確定上述一次函數和反比例函數的表達式；

（2）求△AOB的面積；

（3）根據圖象直接寫出使y1＜y2的x的取值范圍．

22．某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：

（1）操作發現：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是______（填序號即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME．

（2）數學思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數量關系和位置關系？請給出證明過程；

（3）類比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．答：______．

23．已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關于l的對稱點為E，是否存在x軸上的點M，y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標．

2018年周口中考數學沖刺試題參考答案

一、選擇題：每小題3分，共24分

1．﹣的倒數是（　　）

A．﹣3????????????? B．3????????????? C．﹣????????????? D．

【考點】倒數．

【分析】據倒數的意義，乘積是1的兩個數互為倒數．求一個數的倒數就是用1除以這個數，0沒有倒數．由此解答．

【解答】解：1÷（﹣）=﹣3．

故選：A．

2．下列計算正確的是（　　）

A．2x2+x3=3x5????????????? B．（x2）3=x5

C．（m+n）2=m2+n2????????????? D．﹣m2n+2nm2=m2n

【考點】冪的乘方與積的乘方；合并同類項；完全平方公式．

【分析】分別利用合并同類項法則以及冪的乘方運算法則和完全平方公式計算得出答案．

【解答】解：A、2x2+x3，無法計算，故此選項錯誤；

B、（x2）3=x6，故此選項錯誤；

C、（m+n）2=m2+2mn+n2，故此選項錯誤；

D、﹣m2n+2nm2=m2n，正確．

故選：D．

3．用配方法解方程x2﹣1=6x，配方后的方程是（　　）

A．（x﹣3）2=9????????????? B．（x﹣3）2=1????????????? C．（x﹣3）2=10????????????? D．（x+3）2=9

【考點】解一元二次方程-配方法．

【分析】先把方程變形為x2﹣6x=1，再把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可．

【解答】解：x2﹣6x=1，

x2﹣6x+9=10，

（x﹣3）2=10．

故選C．

4．在數﹣1，0，2中任取兩個數作為點的坐標，那么該點剛好在一次函數y=x+2圖象上的概率是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】列表法與樹狀圖法；一次函數圖象上點的坐標特征．

【分析】畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，然后根據一次函數圖象上點的坐標特征，找出點剛好在一次函數y=x+2圖象上的結果數，再利用概率公式計算．

【解答】解：畫樹狀圖為：

共有6種等可能的結果數，其中點剛好在一次函數y=x+2圖象上的結果數為1，

所以該點剛好在一次函數y=x+2圖象上的概率=．

故選D．

5．圖中幾何體的俯視圖是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】簡單組合體的三視圖．

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．

【解答】解：從上面看可得到三個矩形左右排在一起，中間的較大，故選：D．

6．若點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函數y=圖象上的點，且且x1＜x2＜0＜x3，則下列正確的是（　　）

A．y1＞y2＞y3????????????? B．y2＞y3＞y1????????????? C．y2＞y1＞y3????????????? D．y1＞y3＞y2

【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．

【分析】由k=﹣2＜0，可得此反比例函數的圖象位于二、四象限，然后畫出圖象，確定各點的位置，即可求得答案．

【解答】解：∵k=﹣2＜0，

∴此反比例函數的圖象位于二、四象限，

如圖：

∴y2＞y1＞y3．

故選C．

7．若關于x的分式方程+=3有增根，則m的值是（　　）

A．m=﹣1????????????? B．m=2????????????? C．m=3????????????? D．m=0或m=3

【考點】分式方程的增根．

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．

【解答】解：去分母得：m﹣x﹣1=3x﹣6，

由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：m﹣3=0，

解得：m=3，

故選C

8．如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點A處安裝了一臺監視器，它的監控角度是70°，為了監控整個展廳，最少需在圓形的邊緣上共安裝這樣的監視器（　　）

A．3臺????????????? B．4臺????????????? C．5臺????????????? D．6臺

【考點】圓周角定理．

【分析】根據一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得該圓周角所對的弧所對的圓心角是140°，則共需安裝360°÷140°≈3．

【解答】解：∵∠A=70°，

∴該圓周角所對的弧所對的圓心角是140°，

∴共需安裝360°÷140°≈3．

故選：A．

二、填空題：每小題3分，共21分

9．已知圓錐的側面積為15πcm2，底面半徑為3cm，則圓錐的高是　4cm　．

【考點】圓錐的計算．

【分析】圓錐的母線、底面半徑、圓錐的高正好構成直角三角形的三邊，求圓錐的高就可以轉化為求母線長．圓錐的側面的展開圖是扇形，扇形的半徑就等于母線長．

【解答】解：側面展開圖扇形的弧長是6π，設母線長是r，則×6π?r=15π，

解得：r=5，

根據勾股定理得到：圓錐的高==4cm．

故答案為4cm．

10．如果線段AB=45cm，點P是線段AB的黃金分割點，那么線段BP=　cm或　cm．

【考點】黃金分割．

【分析】討論：BP為較長線段或較短線段，然后利用黃金分割的定義分別計算即可．

【解答】解：當BP為較長線段時，BP=AB=×45=cm，

當BP為較短線段時，BP=AB﹣AB=cm．

所以BP的長為cm或cm．

故答案為cm或cm．

11．把拋物線y=x2﹣6x+4的圖象向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是　y=x2﹣7　．

【考點】二次函數圖象與幾何變換．

【分析】先把拋物線的解析式化為頂點式的形式，再根據二次函數圖象平移的法則解答即可．

【解答】解：∵拋物線y=x2﹣6x+4可化為y=（x﹣3）2﹣5，

∴向左平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為：y=（x﹣3+3）2﹣5﹣2，即y=x2﹣7．

故答案為：y=x2﹣7．

12．一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中∠ABC=　75°　．

【考點】三角形內角和定理．

【分析】因為三角板的度數為45°，60°，所以根據三角形內角和定理即可求解．

【解答】解：如圖，∵∠BAC=45°，∠ACB=60°，

∴∠ABC=180°﹣45°﹣60°=75°．

故答案為：75°．

13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，AC是弦，AC=4，∠BOC=　60　°．

【考點】圓周角定理；特殊角的三角函數值．

【分析】如圖，連接BC，求出∠BAC的大小，再應用圓周角定理，即可求出∠BOC的大小．

【解答】解：如圖，連接BC，

，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AB=8，AC=4，

∴cos∠BAC===，

∴∠BAC=30°，

∴∠BOC=30°×2=60°．

故答案為：60．

14．如圖，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把△AOB繞點A順時針旋轉60°后得到△AO′B′，則點B′的坐標是　（2，4）　．

【考點】坐標與圖形變化-旋轉．

【分析】利用直線解析式求出點A、B的坐標，從而得到OA、OB的長，然后判斷出∠BAO=30°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AB=2OB，根據旋轉角是60°得到AB′⊥x軸，然后寫出點B′的坐標即可．

【解答】解：令y=0，則﹣x+2=0，

解得x=2，

令x=0，則y=2，

∴點A（2，0），B（0，2），

∴OA=2，OB=2，

∴∠BAO=30°，

∴AB=2OB=2×2=4，

∵△AOB繞點A順時針旋轉60°后得到△AO′B′，

∴∠BAB′=60°，

∴∠OAB′=30°+60°=90°，

∴AB′⊥x軸，

∴點B′（2，4）．

故答案為：（2，4）．

15．若拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為直線x=5，與x軸一交點為A（3，0），則不等式ax2+bx+c＞0的解集是　3＜x＜7　．

【考點】二次函數與不等式（組）；拋物線與x軸的交點．

【分析】根據題意首先得出拋物線與x軸的交點坐標，進而畫出大致圖象得出不等式的解集．

【解答】解：如圖所示：

∵拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對稱軸為直線x=5，與x軸一交點為A（3，0），

∴拋物線與x軸的另一個交點為：（7，0），

∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．

故答案為：3＜x＜7．

三、解答題：本大題共8小題，共75分

16．先化簡，再計算：，其中x=．

【考點】實數的運算．

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．

【解答】解：原式=÷=?=，

當x=時，原式==+1．

17．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，求∠FCD的度數．

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質．

【分析】根據AE⊥EF即可得出∠AEF=90°，從而可得出∠AEB+∠FEC=90°，利用正方形的性質即可得出∠B=90°，通過角的計算即可得出∠BAE=∠FEC，結合AG=CE、AE=EF，即可證出△AGE≌△ECF（SAS），從而得出∠AGE=∠ECF，再通過等腰直角三角形的判定與性質結合角的計算即可得出結論．

【解答】解：∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=180°﹣∠AEF=180°﹣90°=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，AB=BC，

∴∠AEB+∠BAE=180°﹣90°=90°，

∴∠BAE=∠FEC．

在△AGE和△ECF中，，

∴△AGE≌△ECF（SAS），

∴∠AGE=∠ECF．

∵AB=BC，AG=CE，

∴BG=BE，

∴∠BGE=45°，

∴∠AGE=180°﹣∠BGE=180°﹣45°=135°，

∴∠ECF=135°，

∴∠FCD=∠ECF﹣∠ECD=135°﹣90°=45°．

18．某學校為了解學生進行體育鍛煉的情況，對某班學生每天的體育鍛煉時間進行了統計，并繪制了以下不完整的頻數分布表（如表）和扇形統計圖（如圖），根據圖表中的信息解答下列問題：

（1）求全班學生人數和m的值；

（2）該班學生的體育鍛煉時間的中位數落在　50≤x＜60　時間段；

（3）請你根據以上信息估計全校5000人中每天體育鍛煉時間不少于50分鐘的人數．

【考點】扇形統計圖；用樣本估計總體；頻數（率）分布表；中位數．

【分析】（1）根據C類人數有15人，占總人數的30%即可得出全班學生人數，再求出m的值即可；

（2）求出A+B+C與D+E段的人數和，進而可得出結論；

（3）求出每天體育鍛煉時間不少于50分鐘的人數所占的百分比與總人數的積即可．

【解答】解：（1）15÷30%=50（人），m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18．

答：全班學生人數是50人，m的值是18；

（2）∵2+5+15=22，18+10=28，

∴中位數再50≤x＜60之間．

故答案為：50≤x＜60；

（3）×5000=2800（人）．

答：全校5000人中每天體育鍛煉時間不少于50分鐘的人數約為2800人．

19．如果m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2+2m=3，n2+2n=3，求代數式m2﹣3mn+n2﹣1的值．

【考點】根與系數的關系．

【分析】利用m2+2m=3，n2+2n=3可設m、n可看作方程x2+2x﹣3=0的兩實數解，則根據根與系數的關系得到m+n=﹣2，mn=﹣3，則利用完全平方公式變形得原式=（m+n）2﹣5mn﹣1，然后利用整體代入的方法計算．

【解答】解：∵m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2+2m﹣3=0，n2+2n﹣3=0，

∴m、n可看作方程x2+2x﹣3=0的兩實數解，

∴m+n=﹣2，mn=﹣3，

∴m2﹣3mn+n2﹣1=（m+n）2﹣5mn﹣1

=（﹣2）2﹣5×（﹣3）﹣1

=18．

20．如圖，在玲玲家住宅樓CD的前面新建了一個大型商場AB，當光線與地面的夾角是22°時，商場在玲玲家樓上留下高2m的影子CE；而當光線與地面的夾角是45°時，商場樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離（B、F、C在一條直線上）．求商場AB的高度．（參考數據：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）

【考點】解直角三角形的應用．

【分析】首先構造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可商場AB的高度．

【解答】解：過點E作EM⊥AB，垂足為M．

設AB為x（m）．

∵Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x，

∴BC=BF+FC=x+13；

∵在Rt△AEM中，∠AEM=22°，

AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，

∴tan22°=，

=，

解得：x=12．

答：商場AB的高度為12m．

21．如圖所示，一次函數y1=kx+b的圖象與反比例函數y2=的圖象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）兩點．

（1）試確定上述一次函數和反比例函數的表達式；

（2）求△AOB的面積；

（3）根據圖象直接寫出使y1＜y2的x的取值范圍．

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．

【分析】（1）根據待定系數法，先求得反比例函數解析式，再求得一次函數解析式；

（2）利用坐標軸作為△AOB的分割線，求得△AOB的面積；

（3）在函數圖象上觀察，寫出一次函數圖象在反比例函數圖象下方時所有的點的橫坐標的集合．

【解答】解：（1）∵一次函數y1=kx+b的圖象與反比例函數y2=的圖象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）兩點

∴將B（1，﹣3）代入反比例函數y2=可得

m=﹣3×1=﹣3

∴反比例函數為y2=

將A（﹣2，n）代入反比例函數為y2=可得

n=，即A（﹣2，）

將A（﹣2，）、B（1，﹣3）代入一次函數y1=kx+b，可得

，解得

∴一次函數為y1=x﹣

（2）如圖，設一次函數圖象與y軸交于點C，則

當x=0時，y=﹣，即C（0，﹣）

∴S△AOB=S△AOC+S△COB=××2+=××1=+=

（3）根據圖象可得，使y1＜y2的x的取值范圍為：﹣2＜x＜0或x＞1

22．某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：

（1）操作發現：

在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是　①②③④　（填序號即可）

①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME．

（2）數學思考：

在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數量關系和位置關系？請給出證明過程；

（3）類比探索：

在任意△ABC中，仍分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．答：　等腰直角三角形　．

【考點】三角形綜合題．

【分析】（1）操作發現：由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質，直角三角形的性質就可以得出結論；

（2）數學思考：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據三角形的中位線的性質和等腰直角三角形的性質就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據其性質就可以得出結論；

（3）類比探究：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據三角形的中位線的性質可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質就可以得出結論．

【解答】解：（1）操作發現：

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（AAS），

∴BD=CE，AD=AE，

∵DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，

∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．

∵AB=AC，

∴AF=AG=AB，故①正確；

∵M是BC的中點，

∴BM=CM．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，

即∠DBM=∠ECM．

在△DBM和△ECM中，

，

∴△DBM≌△ECM（SAS），

∴MD=ME．故②正確；

連接AM，根據前面的證明可以得出將圖形1，沿AM對折左右兩部分能完全重合，

∴整個圖形是軸對稱圖形，故③正確．

∵AB=AC，BM=CM，

∴AM⊥BC，

∴∠AMB=∠AMC=90°，

∵∠ADB=90°，

∴四邊形ADBM四點共圓，

∴∠ADM=∠ABM，

∵∠AHD=∠BHM，

∴∠DAB=∠DMB，故④正確，

故答案為：①②③④

（2）數學思考：

MD=ME，MD⊥ME．

理由：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，

∴AF=AB，AG=AC．

∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，

∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，

∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．

∵M是BC的中點，

∴MF∥AC，MG∥AB，

∴四邊形AFMG是平行四邊形，

∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．

∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，

∴∠DFM=∠MGE．

在△DFM和△MGE中，

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴DM=ME，∠FDM=∠GME．

∵MG∥AB，

∴∠GMH=∠BHM．

∵∠BHM=90°+∠FDM，

∴∠BHM=90°+∠GME，

∵∠BHM=∠DME+∠GME，

∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，

即∠DME=90°，

∴MD⊥ME．

∴DM=ME，MD⊥ME；

（3）類比探究：等腰直角三角形，理由如下：

∵點M、F、G分別是BC、AB、AC的中點，

∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，

∴四邊形MFAG是平行四邊形，

∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，

∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°

∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，

即∠DFM=∠MGE．

在△DFM和△MGE中，

，

∴△DFM≌△MGE（SAS），

∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．

∵MG∥AB，

∴∠MHD=∠BFD=90°，

∴∠HMD+∠MDF=90°，

∴∠HMD+∠EMG=90°，

即∠DME=90°，

∴△DME為等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形．

23．已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點A（α，0），B（β，0），且=﹣2，

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關于l的對稱點為E，是否存在x軸上的點M，y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最小？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標．

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）利用根據與系數的關系得出α+β=，αβ=﹣2，進而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用軸對稱求最短路線的方法，作點D關于y軸的對稱點D′，點E關于x軸的對稱點E′，得出四邊形DNME的周長最小為：D′E′+DE，進而利用勾股定理求出即可；

（3）利用平行四邊形的判定與性質結合P點縱坐標為±4，進而分別求出即可．

【解答】解：（1）由題意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數的關系可得，

α+β=，αβ=﹣2，

∵=﹣2，

∴=﹣2，即=﹣2，

解得：m=1，

故拋物線解析式為：y=﹣x2+4x+2；

（2）存在x軸上的點M，y軸上的點N，使得四邊形DNME的周長最小，

∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，

∴拋物線的對稱軸l為x=2，頂點D的坐標為：（2，6），

又∵拋物線與y軸交點C的坐標為：（0，2），點E與點C關于l對稱，

∴E點坐標為：（4，2），

作點D關于y軸的對稱點D′，點E關于x軸的對稱點E′，

則D′的坐標為；（﹣2，6），E′坐標為：（4，﹣2），

連接D′E′，交x軸于M，交y軸于N，

此時，四邊形DNME的周長最小為：D′E′+DE，如圖1所示：

延長E′E，′D交于一點F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，

則D′E′===10，

設對稱軸l與CE交于點G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

∴DE===2，

∴四邊形DNME的周長最小值為：10+2；

（3）如圖2，P為拋物線上的點，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，

若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則△PHQ≌△DGE，

∴PH=DG=4，

∴|y|=4，

∴當y=4時，﹣x2+4x+2=4，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

當y=﹣4時，﹣x2+4x+2=﹣4，

解得：x3=2+，x4=2﹣，

故P點的坐標為；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．

2016年9月24日

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