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2018秦皇島市中考數學壓軸試題

參考答案與試題解析

一、精心選一選，慧眼識金！（本大題共14小題，每小題3分，共42分，在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的）

1．已知三角形兩邊的長分別是5和9，則此三角形第三邊的長可能是（　　）

A．1 B．4 C．8 D．14

【分析】先根據三角形的三邊關系求出x的取值范圍，再求出符合條件的x的值即可．

【解答】解：此三角形第三邊的長為x，則

9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，

只有選項C符合題意．

故選：C．

【點評】本題考查的是三角形的三邊關系，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

2．（秦皇島中考數學）下列圖形中，軸對稱圖形的個數是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．

【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形；

第二個圖形不是軸對稱圖形；

第三個圖形是軸對稱圖形；

第四個圖形是軸對稱圖形．

綜上所述，軸對稱圖形有3個．

故選C．

【點評】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．

3．下面運算正確的是（　　）

A．7a2b﹣5a2b=2 B．x8÷x4=x2C．3=8x6

【分析】利用合并同類項、同底數冪的除法、完全平方公式以及積的乘方的知識，即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．

【解答】解：A、7a2b﹣5a2b=2a2b，故本選項錯誤；

B、x8÷x4=x4，故本選項錯誤；

C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本選項錯誤；

D、（2x2）3=8x6，故本選項正確．

故選D．

【點評】此題考查了合并同類項、同底數冪的除法、完全平方公式以及積的乘方的知識．此題比較簡單，注意掌握指數的變化．

4．把a2﹣4a多項式分解因式，結果正確的是（　　）

A．a（a﹣4） B． C．a D．，

故選：A．

【點評】此題主要考查了提公因式法分解因式，關鍵是掌握找公因式的方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的．

5．要使分式有意義，x的取值范圍滿足（　　）

A．x=0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0

【分析】根據分母不等于0，列式即可得解．

【解答】解：根據題意得，x≠0．

故選B．

【點評】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：

（1）分式無意義?分母為零；

（2）分式有意義?分母不為零；

（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．

6．（秦皇島中考數學）下列各式中，計算結果是x2+7x﹣18的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根據多項式乘多項式的法則，對各選項計算后利用排除法求解．

【解答】解：A、原式=x2+17x﹣18；

B、原式=x2+11x+18；

C、原式=x2+3x﹣18；

D、原式=x2+7x﹣18．

故選D．

【點評】本題主要考查多項式相乘的法則，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．

7．已知y2+10y+m是完全平方式，則m的值是（　　）

A．25 B．±25 C．5 D．±5

【分析】直接利用完全平方公式求出m的值．

【解答】解：∵y2+10y+m是完全平方式，

∴y2+10y+m=（y+5）2=y2+10y+25，

故m=25．

故選：A．

【點評】此題主要考查了完全平方公式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵．

8．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（　　）

A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1

C．=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）

【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，結合選項進行判斷即可．

【解答】解：A、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；

B、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；

C、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤；

D、符合因式分解的定義，故本選項正確；

故選：D．

【點評】本題考查了因式分解的意義，解答本題的關鍵是掌握因式分解后右邊是整式積的形式．

9．如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為（　　）

A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm

【分析】（秦皇島中考數學）利用線段垂直平分線的性質得AD=BD，再利用已知條件三角形的周長計算．

【解答】解：∵△DBC的周長=BC+BD+CD=35cm（已知）

又∵DE垂直平分AB

∴AD=BD（線段垂直平分線的性質）

故BC+AD+CD=35cm

∵AC=AD+DC=20（已知）

∴BC=35﹣20=15cm．

故選C．

【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質．

10．一個正多邊形的每個外角都是72°，這個正多邊形的邊數是（　　）

A．9 B．10 C．6 D．5

【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以外角的度數，就得到外角和中外角的個數，外角的個數就是多邊形的邊數．

【解答】解：這個正多邊形的邊數：360°÷72°=5．

故選D．

【點評】本題考查了多邊形的內角與外角的關系，熟記正多邊形的邊數與外角的關系是解題的關鍵．

11．下列各式中，相等關系一定成立的是（　　）

A．2B．=x2﹣6

C．+x（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣6）

【分析】A、C符合完全平方公式，根據相反數的平方相等，可得A正確；B、符合平方差公式，可看出后一項沒有平方；D可以提取公因式，符號沒有處理好．

【解答】解：A、2，故A正確；

B、應為=x2﹣36，故B錯誤；

C、應為（x+y）2=x2+2xy+y2，故C錯誤；

D、應為6（x﹣2）+x（2﹣x）=（x﹣2）（6﹣x），故D錯誤．

故選：A．

【點評】本題主要考查互為相反數的平方相等，平方差公式，完全平方公式，熟記公式是解題的關鍵．

12．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（　　）

A．2=a2﹣2ab+b2

C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．=a2+ab﹣2b2

【分析】第一個圖形中陰影部分的面積計算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于a2﹣b2；第二個圖形陰影部分是一個長是（a+b），寬是（a﹣b）的長方形，面積是（a+b）（a﹣b）；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．

【解答】（秦皇島中考數學）解：∵圖甲中陰影部分的面積=a2﹣b2，圖乙中陰影部分的面積=（a+b）（a﹣b），

而兩個圖形中陰影部分的面積相等，

∴陰影部分的面積=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

故選：C．

【點評】此題主要考查了乘法的平方差公式．即兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差，這個公式就叫做平方差公式．

13．已知∠AOB=45°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，則P1，O，P2三點構成的三角形是（　　）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等邊三角形 D．等腰直角三角形

【分析】作出圖形，連接OP，根據軸對稱的性質可得OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，然后求出∠P1OP2=2∠AOB，再根據等腰直角三角形的定義判定即可．

【解答】解：如圖，連接OP，

∵P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，

∴OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，

∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=2（∠BOP+∠AOP）=2∠AOB，

∵∠AOB=45°，

∴∠P1OP2=2×45°=90°，

∴P1，O，P2三點構成的三角形是等腰直角三角形．

故答案為：等腰直角三角形．

【點評】本題考查了軸對稱的性質，等腰直角三角形的判定，熟記性質是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．

14．（秦皇島中考數學）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規律擺放，則第12個圖案中共有小三角形的個數是（　　）

A．34 B．35 C．37 D．40

【分析】觀察圖形可知，第1個圖形共有三角形5+2個；第2個圖形共有三角形5+3×2﹣1個；第3個圖形共有三角形5+3×3﹣1個；第4個圖形共有三角形5+3×4﹣1個；…；則第n個圖形共有三角形5+3n﹣1=3n+4個；由此代入n=12求得答案即可．

【解答】解：觀察圖形可知，第1個圖形共有三角形5+2個；

第2個圖形共有三角形5+3×2﹣1個；

第3個圖形共有三角形5+3×3﹣1個；

第4個圖形共有三角形5+3×4﹣1個；

…；

則第n個圖形共有三角形5+3n﹣1=3n+4個；

當n=12時，共有小三角形的個數是3×12+4=40．

故選：D．

【點評】此題考查圖形的變化規律，找出數量上的變化規律，從而推出一般性的結論，利用規律解決問題．

二、填空題（簡潔的結果，表達的是你敏銳的思維，需要的是細心！每小題3分，共18分）

15．分解因式a3﹣6a2+9a=　a（a﹣3）2　．

【分析】先提取公因式a，再根據完全平方公式進行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．

【解答】解：a3﹣6a2+9a

=a（a2﹣6a+9）

=a（a﹣3）2．

故答案為：a（a﹣3）2．

【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式的知識．注意提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，分解要徹底．

16．計算：（﹣2014）0+（）﹣1﹣（﹣1）2014=　2　．

【分析】根據非零的零次冪等于1，負整數指數冪與正整數指數冪互為倒數，負數的偶數次冪是正數，可得答案．

【解答】解：原式=1+2﹣1=2，

故答案為：2．

【點評】本題考查了零指數冪，非零的零次冪等于1，負整數指數冪與正整數指數冪互為倒數，負數的偶數次冪是正數．

17．（秦皇島中考數學）如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補充一個條件　BC=EF　，就得△ABC≌△DEF．

【分析】補充條件BC=EF，首先根據AF=DC可得AC=DF，再根據BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上條件CB=EF可利用SAS定理證明△ABC≌△DEF．

【解答】解：補充條件BC=EF，

∵AF=DC，

∴AF+FC=CD+FC，

即AC=DF，

∵BC∥EF，

∴∠EFC=∠BCF，

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

故答案為：BC=EF．

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

18．禽流感病毒的形狀一般為球形，直徑大約為0.000000102m，該直徑用科學記數法表示為　1.02×10﹣7　m．

【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．

【解答】解：0.000000102=1.02×10﹣7．

故答案為：1.02×10﹣7．

【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．

19．如果分式的值為零，那么x=　﹣1　．

【分析】分式的值為0的條件是：分子為0，分母不為0，兩個條件需同時具備，缺一不可．據此可以解答本題．

【解答】解：如果分式的值為零，則|x|﹣1=0．

解得x=1或﹣1．

x﹣1≠0，解得x≠1，

∴x=﹣1．

故答案為﹣1．

【點評】分式值為0，那么需考慮分子為0，分母不為0．

20．已知點A、B的坐標分別為：（2，0），（2，4），以A、B、P為頂點的三角形與△ABO全等，寫出三個符合條件的點P的坐標：　（4，0）或（4，4）或（0，4）　．

【分析】畫出圖形，根據全等三角形的性質和坐標軸與圖形的性質可求點P的坐標．

【解答】（秦皇島中考數學）解：如圖，

∵△ABO≌△ABP，

∴①OA=AP1，點P1的坐標：（4，0）；

②OA=BP2，點P2的坐標：（0，4）；

③OA=BP3，點P3的坐標：（4，4）．

故填：（4，0），（4，4），（0，4）．

【點評】本題考查了全等三角形的性質及坐標與圖形的性質；解題關鍵是要懂得找全等三角形，利用全等三角形的性質求解．

三、解答題（耐心計算，認真推理，表露你萌動的智慧！共60分）

21．計算題：

（1）（a2）3（a2）4÷（a2）5

（2）（x﹣y+9）（x+y﹣9）

【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可得出答案；

（2）先變形，再根據平方差公式進行計算，最后根據完全平方公式展開即可．

【解答】解：（1）原式=a6a8÷a10

=a6+8﹣10

=a4；

（2）原式0=[x﹣（y﹣9）][（x+（y﹣9）]

=x2﹣（y﹣9）2

=x2﹣y2+18y﹣81．

【點評】本題考查了整式的混合運算的應用，主要考查學生的化簡和計算能力，題目比較典型，難度適中．

22．（秦皇島中考數學）因式分解

（1）﹣2a3+12a2﹣18a

（2）（x2+1）2﹣4x2．

【分析】（1）首先提取公因式﹣2a，再利用完全平方公式進行二次分解即可；

（2）首先利用平方差進行分解，再利用完全平方公式進行二次分解即可．

【解答】解：（1）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2；

（2）原式=（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）=（x+1）2（x﹣1）2．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

23．如圖，如下圖均為2×2的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1．請分別在四個圖中各畫出一個與△ABC成軸對稱、頂點在格點上，且位置不同的三角形．

【分析】根據軸對稱圖形的性質，不同的對稱軸，可以有不同的對稱圖形，所以可以稱找出不同的對稱軸，再思考如何畫對稱圖形．

【解答】解：

【點評】考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據是軸對稱的性質．基本作法：①先確定圖形的關鍵點；②利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順次連接對稱點．

24．先化簡，再求值：，其中x從﹣1、+1、﹣2﹣3中選出你認為合理的數代入化簡后的式子中求值．

【分析】先把括號內通分后進行同分母的減法運算，再把分子分母因式分解和把除法運算化為乘法運算，然后約分后得到原式=，根據分式有意義的條件，把x=﹣3代入計算即可．

【解答】解：原式=

=

=

=，

當x=﹣3時，原式==2．

【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．

25（秦皇島中考數學）．是否存在實數x，使分式的值比分式的值大1？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

【分析】根據題意列出分式方程解答即可．

【解答】解：由題意可得：，

解得：x=2，

經檢驗x=2不是原分式方程的解，

答：不存在，因為分式方程無意義．

【點評】此題考查分式的值問題，關鍵是根據題意列出分式方程．

26．如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足為F．

（1）若AC=10，求四邊形ABCD的面積；

（2）求證：AC平分∠ECF；

（3）求證：CE=2AF．

【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根據SAS推出△ABC≌△ADE，推出四邊形ABCD的面積=三角形ACE的面積，即可得出答案；

（2）根據等腰直角三角形的性質得出∠ACE=∠AEC=45°，△ABC≌△ADE求出∠ACB=∠AEC=45°，推出∠ACB=∠ACE即可；

（3）過點A作AG⊥CG，垂足為點G，求出AF=AG，求出CG=AG=GE，即可得出答案．

【解答】（秦皇島中考數學）（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

∴∠BAC=∠EAD，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD，

∴；

（2）證明：∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：

∠ACB=∠AEC=45°，

∴∠ACB=∠ACE，

∴AC平分∠ECF；

（3）證明：過點A作AG⊥CG，垂足為點G，

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，

∴AF=AG，

又∵AC=AE，

∴∠CAG=∠EAG=45°，

∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，

∴CG=AG=GE，

∴CE=2AG，

∴CE=2AF．

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，角平分線性質，直角三角形的性質的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，難度適中．