2018唐山市中考數學沖刺試題【解析版含答案】

2017-12-08 16:32:27文/趙妍妍

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2018唐山市中考數學沖刺試題

一、選擇題（42分）

1． |﹣2014|等于（　　）

A．﹣2014????????????? B．2014????????????? C．±2014????????????? D．

2．下面的計算正確的是（　　）

A．6a﹣5a=1????????????? B．a+2a2=3a3????????????? C．﹣（a﹣b）=﹣a+b????????????? D．2（a+b）=2a+b

3．實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是（　　）

A．a﹣c＞b﹣c????????????? B．a+c＜b+c????????????? C．ac＞bc????????????? D．＜

4．在圍棋盒中有x顆白色棋子和y顆黑色棋子，從盒中隨機取出一顆棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放進3顆黑色棋子，取得白色棋子的概率變為，則原來盒里有白色棋子（　　）

A．1顆????????????? B．2顆????????????? C．3顆????????????? D．4顆

5．一組數據：10、5、15、5、20，則這組數據的平均數和中位數分別是（　　）

A．10，10????????????? B．10，12.5????????????? C．11，12.5????????????? D．11，10

6．（唐山中考數學）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

7．下面四條直線，其中直線上每個點的坐標都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

8．對于非零實數a、b，規定a?b=．若2?（2x﹣1）=1，則x的值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．﹣

9．已知（x﹣y+3）2+=0，則x+y的值為（　　）

A．0????????????? B．﹣1????????????? C．1????????????? D．5

10．如圖，已知⊙O的兩條弦AC，BD相交于點E，∠A=70°，∠C=50°，那么sin∠AEB的值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

11．如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（　　）

A．48????????????? B．60????????????? C．76????????????? D．80

12．（唐山中考數學）如圖，點D為y軸上任意一點，過點A（﹣6，4）作AB垂直于x軸交x軸于點B，交雙曲線于點C，則△ADC的面積為（　　）

A．9????????????? B．10????????????? C．12????????????? D．15

13．2012﹣2013NBA整個常規賽季中，科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，下列說法錯誤的是（　　）

A．科比罰球投籃2次，一定全部命中

B．科比罰球投籃2次，不一定全部命中

C．科比罰球投籃1次，命中的可能性較大

D．科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小

14．一個圓錐的左視圖是一個正三角形，則這個圓錐的側面展開圖的圓心角等于（　　）

A．60°????????????? B．90°????????????? C．120°????????????? D．180°

15．如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm，動點M自A點出發沿AB方向以每秒1cm的速度向B點運動，同時動點N自A點出發沿折線AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度運動，到達B點時運動同時停止．設△AMN的面積為y（cm2），運動時間為x（秒），則下列圖象中能大致反映y與x之間的函數關系的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

16．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（﹣1，0）和點（0，﹣3），且頂點在第四象限，設P=a+b+c，則P的取值范圍是（　　）

A．﹣3＜P＜﹣1????????????? B．﹣6＜P＜0????????????? C．﹣3＜P＜0????????????? D．﹣6＜P＜﹣3

二、（唐山中考數學）填空題（12分）

17．命題“相等的角是對頂角”是　　命題（填“真”或“假”）．

18．某班組織20名同學去春游，同時租用兩種型號的車輛，一種車每輛有8個座位，另一種車每輛有4個座位．要求租用的車輛不留空座，也不能超載．有　　種租車方案．

19．如圖，從點A（0，2）發出的一束光，經x軸反射，過點B（5，3），則這束光從點A到點B所經過的路徑的長為　　．

20．若圓錐的母線長為5cm，底面半徑為3cm，則它的側面展開圖的面積為　　cm2（結果保留π）

三、解答題

21．如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經過點E．求證：AC是⊙O的切線．

22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．

求證：平行四邊形ADBE是矩形．

23．一項工程，甲，乙兩公司合作，12天可以完成，共需付施工費102000元；如果甲，乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元．

（1）甲，乙兩公司單獨完成此項工程，各需多少天？

（2）若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司的施工費較少？

24．（唐山中考數學）自實施新教育改革后，學生的自主學習、合作交流能力有很大提高，張老師為了了解所教班級學生自主學習、合作交流的具體情況，對本班部分同學進行了為期半個月的跟蹤調查，并將調查結果分為四類：A．特別好；B．好；C．一般；D．較差，并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：

（1）本次調查中，張老師一共調查了多少名同學？

（2）求出調查中C類女生及D類男生的人數，將條形統計圖補充完整；

（3）為了共同進步，張老師想從被調查的A類和D類學生中分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．

25．如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．設BP=x，CE=y．

（1）求y與x的函數關系式；

（2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍；

（3）如圖2，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP長．

26．如圖，已知一次函數y=x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，二次函數y=x2+bx+c的圖象與一次函數y=x+1的圖象交于點B、C兩點，與x軸交于D、E兩點，且D點坐標為（1，0）．

（1）求二次函數的解析式；

（2）在在x軸上有一動點P，從O點出發以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，是否存在動點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P運動時間t的值；若不存在，請說明理由；

（3）若動點P在x軸上，動點Q在射線AC上，同時從A點出發，點P沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，點Q以每秒a個單位的速度沿射線AC運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

27．（唐山中考數學）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，﹣），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；

（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；

（3）以AB為直徑的⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．

唐山中考數學參考答案與試題解析

一、選擇題

1．|﹣2014|等于（　　）

A．﹣2014????????????? B．2014????????????? C．±2014????????????? D．

【考點】絕對值．

【分析】數的絕對值是它本身，可得一個負數的絕對值．

【解答】解=2014，

故選：B．

【點評】本題考查了絕對值，負數的絕對值是它的相反數．

2．下面的計算正確的是（　　）

A．6a﹣5a=1????????????? B．a+2a2=3a3????????????? C．﹣（a﹣b）=﹣a+b????????????? D．2（a+b）=2a+b

【考點】去括號與添括號；合并同類項．

【分析】根據合并同類項法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變；去括號法則：如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反，進行計算，即可選出答案．

【解答】（唐山中考數學）解：A、6a﹣5a=a，故此選項錯誤；

B、a與2a2不是同類項，不能合并，故此選項錯誤；

C、﹣（a﹣b）=﹣a+b，故此選項正確；

D、2（a+b）=2a+2b，故此選項錯誤；

故選：C．

【點評】此題主要考查了合并同類項，去括號，關鍵是注意去括號時注意符號的變化，注意乘法分配律的應用，不要漏乘．

3．實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是（　　）

A．a﹣c＞b﹣c????????????? B．a+c＜b+c????????????? C．ac＞bc????????????? D．＜

【考點】實數與數軸．

【分析】先由數軸觀察a、b、c的大小關系，然后根據不等式的基本性質對各項作出正確判斷．

【解答】解：由數軸可以看出a＜b＜0＜c．

A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故選項錯誤；

B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故選項正確；

C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故選項錯誤；

D、∵a＜c，b＜0，∴＞，故選項錯誤．

故選B．

【點評】此題主要考查了不等式的基本性質及實數和數軸的基本知識，比較簡單．

A．1顆????????????? B．2顆????????????? C．3顆????????????? D．4顆

【考點】概率公式．

【分析】先根據白色棋子的概率是，得到一個方程，再往盒中放進3顆黑色棋子，取得白色棋子的概率變為，再得到一個方程，求解即可．

【解答】解：由題意得，

解得．

故選：B．

【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=；關鍵是得到兩個關于概率的方程．

5．（唐山中考數學）一組數據：10、5、15、5、20，則這組數據的平均數和中位數分別是（　　）

A．10，10????????????? B．10，12.5????????????? C．11，12.5????????????? D．11，10

【考點】中位數；加權平均數．

【分析】根據中位數和平均數的定義結合選項選出正確答案即可．

【解答】解：這組數據按從小到大的順序排列為：5，5，10，15，20，

故平均數為： =11，

中位數為：10．

故選D．

【點評】本題考查了中位數和平均數的知識，屬于基礎題，解題的關鍵是熟練掌握其概念．

6．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】由三視圖判斷幾何體．

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．結合圖形，使用排除法來解答．

【解答】解：如圖，俯視圖為三角形，故可排除A、B．主視圖以及左視圖都是矩形，可排除C，

故選：D．

【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，難度一般，考生做此類題時可利用排除法解答．

7．下面四條直線，其中直線上每個點的坐標都是二元一次方程x﹣2y=2的解是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】一次函數與二元一次方程（組）．

【分析】根據兩點確定一條直線，當x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函數圖象與坐標軸交點，即可得出圖象．

【解答】解：∵x﹣2y=2，

∴y=x﹣1，

∴當x=0，y=﹣1，當y=0，x=2，

∴一次函數y=x﹣1，與y軸交于點（0，﹣1），與x軸交于點（2，0），

即可得出C符合要求，

故選：C．

【點評】此題主要考查了一次函數與二元一次方程的關系，將方程轉化為函數關系進而得出與坐標軸交點坐標是解題關鍵．

8．（唐山中考數學）對于非零實數a、b，規定a?b=．若2?（2x﹣1）=1，則x的值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．﹣

【考點】解分式方程．

【專題】開放型．

【分析】根據題中的新定義化簡所求式子，計算即可得到結果．

【解答】解：根據題意得：2?（2x﹣1）=﹣=1，

去分母得：2﹣（2x﹣1）=4x﹣2，

去括號得：2﹣2x+1=4x﹣2，

移項合并得：6x=5，

解得：x=，

經檢驗是分式方程的解．

故選A．

【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．

9．已知（x﹣y+3）2+=0，則x+y的值為（　　）

A．0????????????? B．﹣1????????????? C．1????????????? D．5

【考點】解二元一次方程組；非負數的性質：偶次方；非負數的性質：算術平方根．

【分析】先根據非負數的性質列出關于x、y的方程組，求出x、y的值即可．

【解答】解：∵（x﹣y+3）2+=0，

∴，解得，

∴x+y=﹣1+2=1．

故選C．

【點評】本題考查的是解二元一次方程組，熟知解二元一次方程組的加減消元法和代入消元法是解答此題的關鍵．

10．如圖，已知⊙O的兩條弦AC，BD相交于點E，∠A=70°，∠C=50°，那么sin∠AEB的值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】（唐山中考數學）特殊角的三角函數值；三角形內角和定理；圓心角、弧、弦的關系．

【分析】根據三角形的內角和是180°求得∠AEB的度數，再根據特殊角的銳角三角函數值求解．

【解答】解：∵∠A=70°，∠C=50°，

∴∠B=∠C=50°，∠AEB=60°，

∴sin∠AEB=．

故選D．

【點評】考查了圓周角定理、三角形的內角和是180°，還要熟記特殊角的銳角三角函數值．

11．如圖，點E在正方形ABCD內，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（　　）

A．48????????????? B．60????????????? C．76????????????? D．80

【考點】勾股定理；正方形的性質．

【分析】由已知得△ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面積．

【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，

∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，

∴S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE，

=AB2﹣×AE×BE

=100﹣×6×8

=76．

故選：C．

【點評】本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質．關鍵是判斷△ABE為直角三角形，運用勾股定理及面積公式求解．

12．（唐山中考數學）如圖，點D為y軸上任意一點，過點A（﹣6，4）作AB垂直于x軸交x軸于點B，交雙曲線于點C，則△ADC的面積為（　　）

A．9????????????? B．10????????????? C．12????????????? D．15

【考點】反比例函數綜合題．

【分析】連接OA、OC，S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO，根據反比例函數中k的幾何意義即可求得S△BCO，根據S△ADC=S△AOC=S△ABO﹣S△BCO求解．

【解答】解：連接OA、OC．

∵AB⊥x軸，

∴AB∥OD，

∴S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO=×6×4=12，

又∵雙曲線的解析式是，

∴S△BCO=×6=3，

∴S△ADC=S△AOC=S△ABO﹣S△BCO=12﹣3=9．

故選A．

【點評】本題考查了三角形的面積公式以及反比例函數中比例系數k的幾何意義，正確理解S△ADC=S△AOC，S△ABD=S△ABO，是關鍵．

13．2012﹣2013NBA整個常規賽季中，科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，下列說法錯誤的是（　　）

A．科比罰球投籃2次，一定全部命中

B．科比罰球投籃2次，不一定全部命中

C．科比罰球投籃1次，命中的可能性較大

D．科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小

【考點】概率的意義．

【分析】根據概率的意義對各選項分析判斷后利用排除法求解．

【解答】（唐山中考數學）解：A、科比罰球投籃2次，不一定全部命中，故本選項錯誤；

B、科比罰球投籃2次，不一定全部命中，故本選項正確；

C、∵科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，

∴科比罰球投籃1次，命中的可能性較大，故本選項正確；

D、科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小，故本選項正確．

故選A．

【點評】本題考查了概率的意義，概率是反映事件發生機會的大小的概念，只是表示發生的機會的大小，機會大也不一定發生．

14．一個圓錐的左視圖是一個正三角形，則這個圓錐的側面展開圖的圓心角等于（　　）

A．60°????????????? B．90°????????????? C．120°????????????? D．180°

【考點】圓錐的計算．

【專題】壓軸題．

【分析】要求其圓心角，就要根據弧長公式計算，首先明確側面展開圖是個扇形，即圓的周長就是弧長．

【解答】解：∵左視圖是等邊三角形，∴底面直徑=圓錐的母線．

故設底面圓的半徑為r，則圓錐的母線長為2r，底面周長=2πr，

側面展開圖是個扇形，弧長=2πr=，所以n=180°．

故選D．

【點評】主要考查了圓錐側面展開扇形與底面圓之間的關系，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關系，列方程求解．

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】動點問題的函數圖象．

【分析】當點N在AD上時，易得S△AMN的關系式；當點N在CD上時，高不變，但底邊在增大，所以S△AMN的面積關系式為一個一次函數；當N在BC上時，表示出S△AMN的關系式，根據開口方向判斷出相應的圖象即可．

【解答】（唐山中考數學）解：當點N在AD上時，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，

點N在CD上時，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y隨x的增大而增大，所以排除A、D；

當N在BC上時，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9﹣3x）=﹣x2+x，開口方向向下．

故選：B

【點評】此題考查動點問題的函數圖象問題，根據自變量不同的取值范圍得到相應的函數關系式是解決本題的關鍵．

16．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（﹣1，0）和點（0，﹣3），且頂點在第四象限，設P=a+b+c，則P的取值范圍是（　　）

A．﹣3＜P＜﹣1????????????? B．﹣6＜P＜0????????????? C．﹣3＜P＜0????????????? D．﹣6＜P＜﹣3

【考點】二次函數圖象與系數的關系．

【專題】壓軸題．

【分析】利用二次函數圖象的開口方向和對稱軸求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2a﹣6的范圍即可．

【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c（c≠0）過點（﹣1，0）和點（0，﹣3），

∴0=a﹣b+c，﹣3=c，

∴b=a﹣3，

∵當x=1時，y=ax2+bx+c=a+b+c，

∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6，

∵頂點在第四象限，a＞0，

∴b=a﹣3＜0，

∴a＜3，

∴0＜a＜3，

∴﹣6＜2a﹣6＜0，

即﹣6＜P＜0．

故選：B．

【點評】此題主要考查了二次函數圖象的性質，根據圖象過（﹣1，0）和點（0，﹣3）得出a與b的關系，以及當x=1時a+b+c=P是解決問題的關鍵．

二、填空題（12分）

17．命題“相等的角是對頂角”是　假　命題（填“真”或“假”）．

【考點】命題與定理．

【分析】對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，從而可得出答案．

【解答】解：對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，

從而可得命題“相等的角是對頂角”是假命題．

故答案為：假．

【點評】此題考查了命題與定理的知識，屬于基礎題，在判斷的時候要仔細思考．

18．（唐山中考數學）某班組織20名同學去春游，同時租用兩種型號的車輛，一種車每輛有8個座位，另一種車每輛有4個座位．要求租用的車輛不留空座，也不能超載．有　2　種租車方案．

【考點】二元一次方程的應用．

【分析】設租用每輛8個座位的車x輛，每輛有4個座位的車y輛，根據車座位數等于學生的人數列出二元一次方程，再根據x、y都是正整數求解即可．

【解答】解：設租用每輛8個座位的車x輛，每輛有4個座位的車y輛，

根據題意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整數，

∴x=1時，y=3，

x=2時，y=1，

x=3時，y=﹣1（不符合題意，舍去），

所以，共有2種租車方案．

故答案為：2．

【點評】本題考查了二元一次方程的應用，解題的關鍵在于車輛數是正整數．

19．如圖，從點A（0，2）發出的一束光，經x軸反射，過點B（5，3），則這束光從點A到點B所經過的路徑的長為　　．

【考點】相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質．

【分析】先過點B作BD⊥x軸于D，由A（0，2），B（5，3），即可得OA=2，BD=3，OD=5，由題意易證得△AOC∽△BDC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，又由勾股定理即可求得這束光從點A到點B所經過的路徑的長．

【解答】解：如圖，過點B作BD⊥x軸于D，

∵A（0，2），B（5，3），

∴OA=2，BD=3，OD=5，

根據題意得：∠ACO=∠BCD，

∵∠AOC=∠BDC=90°，

∴△AOC∽△BDC，

∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，

∴OC=5×=2，

∴CD=OD﹣OC=3，

∴AC==2，BC==3，

∴AC+BC=5，

故答案為：5．

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及點與坐標的性質．此題難度適中，解此題的關鍵是掌握輔助線的作法，掌握入射光線與反射光線的關系．

20（唐山中考數學）．若圓錐的母線長為5cm，底面半徑為3cm，則它的側面展開圖的面積為　15π　cm2（結果保留π）

【考點】圓錐的計算．

【專題】計算題．

【分析】先計算出圓錐底面圓的周長2π×3，再根據圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，然后根據扇形的面積公式計算即可．

【解答】解：圓錐的側面展開圖的面積=×2π×3×5=15π（cm2）．

故答案為15π．

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了扇形的面積公式．

三、解答題

21．如圖，在△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經過點E．求證：AC是⊙O的切線．

【考點】切線的判定．

【專題】證明題．

【分析】（唐山中考數學）連接OE，由BE是∠CBA的角平分線得∠ABE=∠CBE，由OE=OB得∠ABE=∠OEB，則∠OEB=∠CBE，所以OE∥BC，則∠OEC=∠C=90°，即OE⊥AC，根據切線的判定得到AC是⊙O的切線．

【解答】證明：連接OE，如圖，

∵BE是∠CBA的角平分線，

∴∠ABE=∠CBE．

∵OE=OB，

∴∠ABE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC

∴∠OEC=∠C=90°，

∴OE⊥AC，

∴AC是⊙O的切線．

【點評】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．

求證：平行四邊形ADBE是矩形．

【考點】矩形的判定；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質．

【分析】利用三線合一定理可以證得∠ADB=90°，再根據矩形的定義即可證得．

【解答】證明：∵AB=AC，AD是BC的邊上的中線，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵四邊形ADBE是平行四邊形，

∴平行四邊形ADBE是矩形．

【點評】本題考查了三線合一定理以及矩形的判定，理解三線合一定理是關鍵．

23．（唐山中考數學）一項工程，甲，乙兩公司合作，12天可以完成，共需付施工費102000元；如果甲，乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元．

（1）甲，乙兩公司單獨完成此項工程，各需多少天？

（2）若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司的施工費較少？

【考點】分式方程的應用；一元一次方程的應用．

【分析】（1）設甲公司單獨完成此項工程需x天，則乙工程公司單獨完成需1.5x天，根據合作12天完成列出方程求解即可．

（2）分別求得兩個公司施工所需費用后比較即可得到結論．

【解答】解：（1）設甲公司單獨完成此項工程需x天，則乙公司單獨完成此項工程需1.5x天．

根據題意，得+=，

解得x=20，

經檢驗知x=20是方程的解且符合題意．

1.5x=30

故甲公司單獨完成此項工程，需20天，乙公司單獨完成此項工程，需30天；

（2）設甲公司每天的施工費為y元，則乙公司每天的施工費為（y﹣1500）元，

根據題意得12（y+y﹣1500）=102000，解得y=5000，

甲公司單獨完成此項工程所需的施工費：20×5000=100000（元）；

乙公司單獨完成此項工程所需的施工費：30×（5000﹣1500）=105000（元）；

故甲公司的施工費較少．

【點評】本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出等量關系并利用等量關系求解．

24．自實施新教育改革后，學生的自主學習、合作交流能力有很大提高，張老師為了了解所教班級學生自主學習、合作交流的具體情況，對本班部分同學進行了為期半個月的跟蹤調查，并將調查結果分為四類：A．特別好；B．好；C．一般；D．較差，并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：

（1）本次調查中，張老師一共調查了多少名同學？

（2）求出調查中C類女生及D類男生的人數，將條形統計圖補充完整；

【考點】條形統計圖；扇形統計圖；列表法與樹狀圖法．

【分析】（1）根據A類的人數是3，所占的百分比是15%，據此即可求得總人數；

（2）根據百分比的意義求得C、D兩類的人數，進而求得C類女生及D類男生的人數；

（3）利用列舉法表示出所有可能的結果，然后利用概率公式即可求解．

【解答】（唐山中考數學）解：（1）調查的總人數是：（1+2）÷15%=20（人）；

（2）C類學生的人數是：20×25%=5（人），則C類女生人數是：5﹣3=2（人）；

D類的人數是：20×（1﹣50%﹣25%﹣15%）=4（人），則D類男生的人數是：4﹣1=3（人）；

如圖所示：

（3）如圖所示：

則恰好是一位男同學和一位女同學的概率是：．

【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．

25．如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．設BP=x，CE=y．

（1）求y與x的函數關系式；

（2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍；

（3）如圖2，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP長．

【考點】四邊形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）證明△ABP∽△PCE，利用比例線段關系求出y與x的函數關系式；

（2）根據（1）中求出的y與x的關系式，利用二次函數性質，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；

（3）根據翻折的性質及已知條件，構造直角三角形，利用勾股定理求出BP的長度．解答中提供了三種解法，可認真體會．

【解答】（唐山中考數學）解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，

∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴y=x2+x．

（2）∵y=x2+x=（x﹣）2+，

∴當x=時，y取得最大值，最大值為．

∵點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，

∴≤1，解得m≤．

∴m的取值范圍為：0＜m≤．

（3）由折疊可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，

又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，

∴∠APG=∠APB．

∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，

∴∠GAP=∠APB，

∴∠GAP=∠APG，

∴AG=PG=PC．

解法一：（唐山中考數學）如解答圖所示，分別延長CE、AG，交于點H，

則易知ABCH為矩形，HE=CH﹣CE=2﹣y，GH=AH﹣AG=4﹣（4﹣x）=x，

在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GE2，

即：x2+（2﹣y）2=y2，化簡得：x2﹣4y+4=0? ①

由（1）可知，y=x2+x，這里m=4，∴y=x2+2x，

代入①式整理得：3x2﹣8x+4=0，解得：x=或x=2，

∴BP的長為或2．

解法二：如解答圖所示，連接GC．

∵AG∥PC，AG=PC，

∴四邊形APCG為平行四邊形，∴AP=CG．

易證△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．

過點G作GN⊥PC于點N，則GN=2，PN=PC﹣CN=4﹣2x．

在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2，

即：（4﹣2x）2+22=（4﹣x）2，

整理得：3x2﹣8x+4=0，解得：x=或x=2，

∴BP的長為或2．

解法三：過點A作AK⊥PG于點K，

∵∠APB=∠APG，

∴AK=AB．

易證△APB≌△APK，

∴PK=BP=x，

∴GK=PG﹣PK=4﹣2x．

在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2，

即：（4﹣2x）2+22=（4﹣x）2，

整理得：3x2﹣8x+4=0，

解得：x=或x=2，

∴BP的長為或2．

【點評】本題是代數幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折疊、函數關系式、二次函數最值等知識點，所涉及考點眾多，有一定的難度．注意第（2）問中求m取值范圍時二次函數性質的應用，以及第（3）問中構造直角三角形的方法．

26．（唐山中考數學）如圖，已知一次函數y=x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，二次函數y=x2+bx+c的圖象與一次函數y=x+1的圖象交于點B、C兩點，與x軸交于D、E兩點，且D點坐標為（1，0）．

（1）求二次函數的解析式；

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）根據一次函數的解析式可找出點B的坐標，再根據點A、D的坐標利用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

（2）假設存在，則點P的坐標為（t，0）．聯立直線與拋物線解析式成方程組，解方程組求出點C的坐標，根據點B、P的坐標利用兩點間的距離公式即可求出PB、PC、BC的長度，再利用勾股定理即可得出關于t的一元二次方程，解方程即可得出結論；

（3）假設存在，則AP=2t，AQ=at．由一次函數解析式即可找出點A的坐標，結合點B、D的坐標即可得出AB、AD的長度，分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB兩種情況考慮，根據相似三角形的性質即可得出關于a的一元一次方程，解方程即可求出a值，此題得解．

【解答】解：（1）當x=0時，y=1，

∴B（0，1）．

將點B（0，1）、D（1，0）代入y=x2+bx+c中，

，解得：，

∴二次函數的解析式為y=x2﹣x+1．

（2）假設存在，則點P的坐標為（t，0）．

聯立直線AB與拋物線的解析式成方程組，

，解得：，，

∴點C的坐標為（4，3）．

∵B（0，1），P（t，0），

∴BC=2，CP==，BP==，

∵在Rt△PBC中，∠BPC=90°，

∴BC2=CP2+BP2，即20=t2﹣8t+25+t2+1，

解得：t1=1，t2=3．

故存在動點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形，此時點P運動的時間為1秒或3秒．

（3）（唐山中考數學）假設存在，則AP=2t，AQ=at．

當y=0時，x=﹣2，

∴A（﹣2，0）．

∵B（0，1）、D（1，0），

∴AB=，AD=3．

∵∠PAQ=∠BAD，

∴以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似有兩種情況：

①當△PAQ∽BAD時，有，即，

解得：a=；

②當△PAQ∽△DAB時，有，即，

解得：a=．

綜上可知：存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似，a的值為或．

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求函數解析式、勾股定理以及相似三角形的性質，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出二次函數解析式；（2）利用勾股定理找出關于t的一元二次方程；（3）分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB兩種情況考慮．本體屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．

27．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，﹣），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．