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2018唐山市中考數學模擬試題

一、選擇題（本大題共12個小題；1～6小題每小題3分，7～12小題每小題3分，滿分共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．等于（　　）

A．±4????????????? B．4????????????? C．﹣4????????????? D．±2

2．函數y=中，自變量x的取值范圍是（　　）

A．x＞﹣3????????????? B．x≥﹣3????????????? C．x≠﹣3????????????? D．x≤﹣3

3．一次函數y=﹣2x﹣1的圖象大致是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

4．下列命題正確的是（　　）

A．對角線相等的四邊形是矩形

B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C．對角線互相垂直的四邊形是菱形

D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

5．（唐山中考數學）學校準備設計一款女生校服，對全校女生喜歡的顏色進行了問卷調查，統計如下表所示：

學校決定采用紅色，可用來解釋這一現象的統計知識是（　　）

A．平均數????????????? B．中位數????????????? C．眾數????????????? D．方差

6．在圖形旋轉中，下列說法錯誤的是（　　）

A．圖形上的每一點到旋轉中心的距離相等

B．圖形上的每一點轉動的角度相同

C．圖形上可能存在不動點

D．圖形上任意兩點的連線與其對應兩點的連線相等

7．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以下說法錯誤的是（　　）

A．∠ABC=90°????????????? B．AC=BD????????????? C．OA=OB????????????? D．OA=AD

8．下列計算正確的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．4????????????? D．3

9．如圖所示，“數軸上的點并不都表示有理數，如圖中數軸上的點P所表示的數是”，這種說明問題的方式體現的數學思想方法叫做（　　）

A．代入法????????????? B．換元法????????????? C．數形結合????????????? D．分類討論

10．如圖，菱形ABCD的邊長是2，∠B=120°，P是對角線AC上一個動點，E是CD的中點，則PE+PD的最小值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．2????????????? D．

11．（唐山中考數學）梅梅以每件6元的價格購進某商品若干件到市場去銷售，銷售金額y（元）與銷售量x（件）的函數關系圖象如圖所示，則降價后每件商品的銷售利潤為（　　）

A．4元????????????? B．5元????????????? C．10元????????????? D．15元

12．如圖，函數y=kx+b（k≠0）的圖象經過點B（2，0），與函數y=2x的圖象交于點A，則不等式組的解集為（　　）

A．x＜1????????????? B．x＞2????????????? C．0＜x＜2????????????? D．0＜x＜1

二、填空題（本大題共6個小題；每小題2分，滿分共12分．把答案寫在題中橫線上）

13．直線y=x與x軸交點的坐標是　?? 　．

14．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE⊥BE于點E，且AE=3，BE=4，則陰影部分的面積是　?? 　．

15．如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形AB′C′D′的位置，旋轉角為α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，則∠α=　?? 　．

16．如圖，直線y=x+2和x=3的交點坐標是　?? 　．

17（唐山中考數學）．已知小明家5月份總支出共計5000元，各項支出所占百分比如圖所示，那么用于教育的支出是　?? 　元．

18．已知y是x的函數，在y=（m+2）x+m﹣3中，y隨x的增大而減小，圖象與y軸交于負半軸，則m的取值范圍是　?? 　．

三、解答題（本大題共7個/小題；滿分共58分.解答應按要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．計算：

（1）5﹣；

（2）（3+）（3﹣）．

20．如圖，在平面直角坐標系中，有一Rt△ABC，且點A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋轉得到的．

（1）旋轉中心的坐標是　?? 　，旋轉角的度數是　?? 　．

（2）以（1）中的旋轉中心為中心，分別畫出△A1AC1順時針旋轉90°，180°的三角形．

（3）利用變換前后所形成的圖案，可以證明的定理是　?? 　．

21．某總公司為了評價甲、乙兩個分公司去年的產值，統計了這兩個分公司去年12個月的產值（單位：萬元）情況，分別如圖所示：

（1）（唐山中考數學）利用上圖中的信息，完成下表：

（2）假若你是公司的總經理，請你請從以下三個不同的角度對兩個分公司的產值進行分析，對兩個分公司做出評價；

①從平均數和眾數相結合看（分析哪個公司產值好些）；

②從平均數和中位數相結合看（分析哪個公司產值好些）．

③從平均數和方差相結合看（分析哪個公司產值好些）．

22．如圖，直線l：y=mx﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B，點P1（2，1）在直線l上，將點P1先向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到像點P2．

（1）判斷點P2是否在直線l上；并說明理由．

（2）若直線l上的點在x軸上方，直接寫出x的取值范圍．

（3）若點P為過原點O與直線l平行的直線上任意一點，直接寫出S△PAB的值．

23．如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）如果∠BOC=90°，∠OCB=30°，OB=2，求EF的長．

24．（唐山中考數學）小李從甲地前往乙地，到達乙地休息了半個小時后，又按原路返回甲地，他與甲地的距離y（千米）和所用的時間x（小時）之間的函數關系如圖所示．

（1）小李從乙地返回甲地用了多少小時？

（2）求小李出發5小時后距離甲地多遠？

（3）在甲、乙兩地之間有一丙地，小李從去時途經丙地，到返回時路過丙地，共用了2小時50分鐘，求甲、丙兩地相距多少千米．

25．如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，

（1）求∠EAF的度數；

（2）在圖①中，連結BD分別交AE、AF于點M、N，將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，連結

???????? MH，得到圖②．求證：MN2=MB2+ND2；

（3）在圖②中，若AG=12，BM=3，直接寫出MN的值．

唐山中考數學參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個小題；1～6小題每小題3分，7～12小題每小題3分，滿分共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．等于（　　）

A．±4????????????? B．4????????????? C．﹣4????????????? D．±2

【考點】73：二次根式的性質與化簡．

【分析】根據二次根式的性質進行計算．

【解答】解： =|﹣4|=4，

故選B．

2．（唐山中考數學）函數y=中，自變量x的取值范圍是（　　）

A．x＞﹣3????????????? B．x≥﹣3????????????? C．x≠﹣3????????????? D．x≤﹣3

【考點】E4：函數自變量的取值范圍．

【分析】根據被開方數大于等于0列式進行計算即可得解．

【解答】解：根據題意得，x+3≥0，

解得x≥﹣3．

故選B．

3．一次函數y=﹣2x﹣1的圖象大致是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】F3：一次函數的圖象．

【分析】先根據一次函數的系數判斷出函數圖象所經過的象限，由此即可得出結論．

【解答】解：在y=﹣2x﹣1中，

∵﹣2＜0，﹣1＜0，

∴此函數的圖象經過二、三、四象限，

故選D．

4．下列命題正確的是（　　）

A．對角線相等的四邊形是矩形

B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

C．對角線互相垂直的四邊形是菱形

D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

【考點】O1：命題與定理．

【分析】根據矩形的判定方法對A進行判斷；根據正方形的判定方法對B進行判定；根據菱形的判定方法對C進行判定，根據平行四邊形的判定方法對D進行判定．

【解答】解：A、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項為假命題；

B、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以B選項為假命題；

C、兩條對角線垂直的平行四邊形是菱形，所以C選項為假命題；

D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以D選項為真命題．

故選D．

5．學校準備設計一款女生校服，對全校女生喜歡的顏色進行了問卷調查，統計如下表所示：

學校決定采用紅色，可用來解釋這一現象的統計知識是（　　）

A．平均數????????????? B．中位數????????????? C．眾數????????????? D．方差

【考點】WA：統計量的選擇．

【分析】根據平均數、中位數、眾數及方差的有關知識判斷即可．

【解答】解：喜歡紅色的學生最多，是這組數據的眾數，

故選C．

6．（唐山中考數學）在圖形旋轉中，下列說法錯誤的是（　　）

A．圖形上的每一點到旋轉中心的距離相等

B．圖形上的每一點轉動的角度相同

C．圖形上可能存在不動點

D．圖形上任意兩點的連線與其對應兩點的連線相等

【考點】R2：旋轉的性質．

【分析】根據旋轉的性質分別對各選項進行判斷．

【解答】解：A、在圖形旋轉中，根據旋轉的性質，圖形上對應點到旋轉中心的距離相等，故本選項錯誤；

B、圖形上的每一點轉動的角度都等于旋轉角，正確；

C、以圖形上一點為旋轉中心，則這個點不動，正確；

D、旋轉前后兩個圖形全等，則圖形上任意兩點的連線與其對應兩點的連線相等，正確．

故選A．

7．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以下說法錯誤的是（　　）

A．∠ABC=90°????????????? B．AC=BD????????????? C．OA=OB????????????? D．OA=AD

【考點】LB：矩形的性質．

【分析】矩形的性質：四個角都是直角，對角線互相平分且相等；由矩形的性質容易得出結論．

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，

∴OA=OB，

∴A、B、C正確，D錯誤，

故選：D．

8．下列計算正確的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．4????????????? D．3

【考點】79：二次根式的混合運算．

【分析】直接利用二次根式的混合運算法則分別計算得出答案．

【解答】解：A、+無法計算，故此選項錯誤；

B、÷=3，正確；

C、4﹣3=，故此選項錯誤；

D、3×2=12，故此選項錯誤；

故選：B．

9．（唐山中考數學）如圖所示，“數軸上的點并不都表示有理數，如圖中數軸上的點P所表示的數是”，這種說明問題的方式體現的數學思想方法叫做（　　）

A．代入法????????????? B．換元法????????????? C．數形結合????????????? D．分類討論

【考點】29：實數與數軸．

【分析】本題利用實數與數軸上的點對應關系結合數學思想即可求解答．

【解答】解：如圖在數軸上表示點P，這是利用直觀的圖形﹣﹣數軸表示抽象的無理數，

∴說明問題的方式體現的數學思想方法叫做數形結合，

∴A，B，D的說法顯然不正確．

故選C．

10．如圖，菱形ABCD的邊長是2，∠B=120°，P是對角線AC上一個動點，E是CD的中點，則PE+PD的最小值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．2????????????? D．

【考點】PA：軸對稱﹣最短路線問題；L8：菱形的性質．

【分析】如圖，連接BD、BE、PB．由B、D關于AC對稱，推出PB=PD，推出PD+PE=PB+PE，在△PBE中，PB+PE≥BE，推出PD+PE的最小值為BE的值，求出BE的值即可．

【解答】（唐山中考數學）解：如圖，連接BD、BE、PB．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，

∴AB∥CD，BC=CD=2，

∴∠BCD=180°﹣120°=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∵CE=DE，

∴BE⊥CD，易知BE=，

∵B、D關于AC對稱，

∴PB=PD，

∴PD+PE=PB+PE，

在△PBE中，PB+PE≥BE，

∴PD+PE的最小值為BE的值，

∴PD+PE的最小值為．

11．梅梅以每件6元的價格購進某商品若干件到市場去銷售，銷售金額y（元）與銷售量x（件）的函數關系圖象如圖所示，則降價后每件商品的銷售利潤為（　　）

A．4元????????????? B．5元????????????? C．10元????????????? D．15元

【考點】FH：一次函數的應用．

【分析】由圖象可知40件銷售金額為600元，80件的銷售金額為1000元，所以降價后買了80﹣40=40件，銷售金額為1000﹣600=400元，則降價后每件商品銷售的價格為400÷40=10元，進而得出降價后每件商品的銷售利潤．

【解答】解：∵由圖象可知40件銷售金額為600元，80件的銷售金額為1000元，

∴降價后買了80﹣40=40件，銷售金額為1000﹣600=400元，

∴降價后每件商品銷售的價格為400÷40=10元，

故降價后每件商品的銷售利潤為：10﹣6=4（元）．

故選：A．

12．如圖，函數y=kx+b（k≠0）的圖象經過點B（2，0），與函數y=2x的圖象交于點A，則不等式組的解集為（　　）

A．x＜1????????????? B．x＞2????????????? C．0＜x＜2????????????? D．0＜x＜1

【考點】（唐山中考數學）FD：一次函數與一元一次不等式．

【分析】先利用正比例函數解析式確定A點坐標，再利用函數圖象找出直線y=kx+b在x軸上方且在直線y=2x上方所對應的自變量的范圍即可．

【解答】解：當y=2時，2x=2，解得x=1，則A（1，2），

當x＜2時，kx+b＞0；

當x＜1時，kx+b＞2x，

所以不等式組的解集為x＜1．

故選A．

二、填空題（本大題共6個小題；每小題2分，滿分共12分．把答案寫在題中橫線上）

13．直線y=x與x軸交點的坐標是　（0，0）　．

【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征．

【分析】令y=0，求出x的值即可．

【解答】解：∵令y=0，則x=0，解得x=0，

∴直線y=與x軸交點的坐標是（0，0）．

故答案為：（0，0）．

14．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE⊥BE于點E，且AE=3，BE=4，則陰影部分的面積是　19　．

【考點】LE：正方形的性質；KQ：勾股定理．

【分析】根據勾股定理列式求出AB的長度，然后利用正方形的面積減去三角形的面積，列式進行計算即可得解．

【解答】解：∵AE⊥BE，

∴△ABE是直角三角形，

∵AE=3，BE=4，

∴AB===5，

∴陰影部分的面積=S正方形ABCD﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19．

故答案為：19．

15．（唐山中考數學）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形AB′C′D′的位置，旋轉角為α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，則∠α=　20°　．

【考點】R2：旋轉的性質；LB：矩形的性質．

【分析】根據矩形的性質得∠B=∠D=∠BAD=90°，根據旋轉的性質得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用對頂角相等得到∠1=∠2=110°，再根據四邊形的內角和為360°可計算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度數．

【解答】解：如圖，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B=∠D=∠BAD=90°，

∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉得到矩形AB′C′D′，

∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，

∵∠1=∠2=110°，

∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，

∴∠4=90°﹣70°=20°，

∴∠α=20°．

故答案為：20°．

16．如圖，直線y=x+2和x=3的交點坐標是　（3，4）　．

【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征．

【分析】將x=3代入直線AB的解析式中求出y值，由此即可得出直線y=x+2和x=3的交點坐標．

【解答（唐山中考數學）】解：當x=3時，y=x+2=4，

∴直線y=x+2和x=3的交點坐標為（3，4）．

故答案為：（3，4）．

17．已知小明家5月份總支出共計5000元，各項支出所占百分比如圖所示，那么用于教育的支出是　900　元．

【考點】VB：扇形統計圖．

【分析】求出教育所占百分比，乘以5000元即可．

【解答】解：教育支出為5000×（1﹣10%﹣24%﹣12%﹣36%）=900元；

故答案為900．

18．已知y是x的函數，在y=（m+2）x+m﹣3中，y隨x的增大而減小，圖象與y軸交于負半軸，則m的取值范圍是　m＜﹣2　．

【考點】F7：一次函數圖象與系數的關系．

【分析】先利用一次函數的性質得m+2＜0，再利用一次函數與系數的關系得到m﹣3＜0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．

【解答】解：∵y=（m+2）x+m﹣3中，y隨x的增大而減小，

∴m+2＜0，解得m＜﹣2；

∵圖象與y軸交于負半軸，

∴m﹣3＜0，解得m＜3，

∴m的取值范圍是m＜﹣2．

故答案為m＜﹣2．

三、解答題（本大題共7個/小題；滿分共58分.解答應按要求寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．計算：

（1）5﹣；

（2）（3+）（3﹣）．

【考點】79：二次根式的混合運算．

【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可．

（2）利用平方差公式計算．

【解答】解：（1）原式=，

=．

（2）原式=，

=18﹣5=13．

20．（唐山中考數學）如圖，在平面直角坐標系中，有一Rt△ABC，且點A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋轉得到的．

（1）旋轉中心的坐標是　O（0，0）　，旋轉角的度數是　90°　．

（2）以（1）中的旋轉中心為中心，分別畫出△A1AC1順時針旋轉90°，180°的三角形．

（3）利用變換前后所形成的圖案，可以證明的定理是　勾股定理　．

【考點】R9：利用旋轉設計圖案．

【分析】（1）根據中心旋轉圖形的定義即可判斷；

（2）以O為旋轉中心，旋轉角為90°，180°分別畫出圖形即可．

（3）可以證明勾股定理．

【解答】解：（1）O（0，0），90°．

故答案為O（0，0），90°．

（2）△A1AC1順時針旋轉90°，180°的三角形如圖所示．．

（3）這是勾股弦圖可以證明勾股定理．

故答案為勾股定理．

21．（唐山中考數學）某總公司為了評價甲、乙兩個分公司去年的產值，統計了這兩個分公司去年12個月的產值（單位：萬元）情況，分別如圖所示：

（1）利用上圖中的信息，完成下表：

（2）假若你是公司的總經理，請你請從以下三個不同的角度對兩個分公司的產值進行分析，對兩個分公司做出評價；

①從平均數和眾數相結合看（分析哪個公司產值好些）；

②從平均數和中位數相結合看（分析哪個公司產值好些）．

③從平均數和方差相結合看（分析哪個公司產值好些）．

【考點】W7：方差；W2：加權平均數；W4：中位數；W5：眾數．

【分析】（1）根據眾數和中位數的定義即可得；

（2）根據平均數、眾數、中位數及方差的意義逐一分析判斷．

【解答】解：（1）由圖甲知7出現次數最多，有5次，故甲的眾數為7；

由圖乙知，這12個數據為：6、6、7、7、7、8、9、9、9、9、9、10，

則乙的中位數為=8.5，

補全表格如下：

（2）①∵平均數都相同，乙公司的眾數較高，

∴乙公司的產值好一些；

②∵平均數都相同，乙公司的中位數較小，

∴乙公司的產值好些．

③∵平均數都相同，乙公司的方差較小，

∴乙公司的產值穩定，故乙公司產值好些．

22．（唐山中考數學）如圖，直線l：y=mx﹣3與x軸、y軸分別交于點A、B，點P1（2，1）在直線l上，將點P1先向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到像點P2．

（1）判斷點P2是否在直線l上；并說明理由．

（2）若直線l上的點在x軸上方，直接寫出x的取值范圍．

（3）若點P為過原點O與直線l平行的直線上任意一點，直接寫出S△PAB的值．

【考點】FF：兩條直線相交或平行問題；Q3：坐標與圖形變化﹣平移．

【分析】（1）根據“右加左減、上加下減”的規律來求點P2的坐標，把點P1（2，1），代入直線方程，利用方程組來求系數的值，把點（6，9）代入（2）中的函數解析式進行驗證即可；

（2）根據直線l與x軸的交點坐標即可得到結論；

（3）根據已知條件得到S△PAB=S△OAB，根據勾股定理得到AB==，過O作OC⊥AB于C，根據三角形的面積公式得到OC==，于是得到結論．

【解答】解：（1）點P2在直線l上，

理由：∵直線l：y=mx﹣3，過點P1（2，1），

∴把點P1（2，1）代入y=mx﹣3，得1=2m﹣3，

∴m=2，

∴直線l的解析式為：y=2x﹣3，

∵將點P1先向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到像點P2．

∴P2（3，3），

∵2×3﹣3=3，

∴點P2在直線l上；

（2）∵直線l與x軸交于（，0），

∴若直線l上的點在x軸上方，x的取值范圍為：x＞；

（3）∵若點P為過原點O與直線l平行的直線上任意一點，

∴S△PAB=S△OAB，

∵在y=2x﹣3中，令x=0，則y=﹣3，令y=0，則x=，

∴A（0，﹣3），B（，0），

∴OA=3，OB=，

∴AB==，

過O作OC⊥AB于C，

∴OC==，

∴S△PAB=S△OAB=×=．

23．（唐山中考數學）如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG．

（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）如果∠BOC=90°，∠OCB=30°，OB=2，求EF的長．

【考點】LN：中點四邊形．

【分析】（1）根據三角形中位線的性質可得DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，進而可得DG∥EF，DG=EF，再由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結論；

（2）根據直角三角形的性質可得CB=2OB=4，再根據三角形中位線的性質可得EF=BC=2．

【解答】（1）證明：∵AB、OB、OC、AC的中點分別為D、E、F、G，

∴DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，

∴DG∥EF，DG=EF，

∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解：∵∠BOC=90°，∠OCB=30°，OB=2，

∴在Rt△BOC中，CB=2OB=4，

∴EF=BC=2．

24（唐山中考數學）．小李從甲地前往乙地，到達乙地休息了半個小時后，又按原路返回甲地，他與甲地的距離y（千米）和所用的時間x（小時）之間的函數關系如圖所示．

（1）小李從乙地返回甲地用了多少小時？

（2）求小李出發5小時后距離甲地多遠？

（3）在甲、乙兩地之間有一丙地，小李從去時途經丙地，到返回時路過丙地，共用了2小時50分鐘，求甲、丙兩地相距多少千米．

【考點】FH：一次函數的應用．

【分析】（1）根據題意可以得到小李從乙地返回甲地用了多少小時；

（2）根據題意可以求得小李返回時對應的函數解析式，從而可以求得小李出發5小時后距離甲地的距離；

（3）根據題意可以得到小李從甲地到乙地的函數解析式，從而可以得到相應的方程，本題得以解決．

【解答】解：（1）由題意可得，

7.5﹣（3+0.5）=4（小時），

答：小李從乙地返回甲地用了4小時；

（2）設小李返回時直線解析式為y=kx+b，

將（3.5，240）、（7.5，0）分別代入得，

，

解得，，

∴y=﹣60x+450，

∴當x=5時，y=﹣60×5+450=150，

答：小李出發5小時后距離甲地150千米；

（3）設小李前往乙地的直線解析式為y=mx，

將（3，240）代入得，

3m=240，

解得，m=80，

∴y=80x，

∴80x=﹣60（x+2）+450，

解得，x=2，

∴當x=2時，y=80×2=160，

答：甲、丙兩地相距160千米．

25．（唐山中考數學）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，

（1）求∠EAF的度數；

（2）在圖①中，連結BD分別交AE、AF于點M、N，將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，連結

???????? MH，得到圖②．求證：MN2=MB2+ND2；

（3）在圖②中，若AG=12，BM=3，直接寫出MN的值．

【考點】LO：四邊形綜合題．

【分析】（1）如圖①，通過證明Rt△ABE≌Rt△AGE得到∠BAE=∠GAE，證明Rt△ADF≌Rt△AGF得到∠GAF=∠DAF，從而得到∠EAF=∠BAD=45°；

（2）如圖②，先利用正方形的性質得∠ADB=∠ABD=45°，再利用旋轉的性質得∠ABH=∠ADN=45°，∠HAN=90°，AH=AN，BH=DN，則∠HAM=45°，于是可根據“SAS”證明△AHM≌△ANM，所以MN=MH，接著證明∠HBM=90°，然后根據勾股定理得到結論；

（3）利用正方形的性質得BD=12，設MN=x，則DN=9﹣x，然后利用MN2=MB2+ND2得到x2=（3）2+（9﹣x）2，然后解方程求出x即可．

【解答】（1）解：如圖①，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=∠BAD=90°，

∵AG⊥EF，

∴∠AGE=90°，

∵高AG與正方形的邊長相等，

∴AG=AB=AD，

在Rt△ABE和△AGE中

，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），

∴∠BAE=∠GAE，

同理可得Rt△ADF≌Rt△AGF，

∴∠GAF=∠DAF，

∴∠EAF=∠BAD=45°；

（2）（唐山中考數學）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB=∠ABD=45°，

∵△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，如圖②，

∴∠ABH=∠ADN=45°，∠HAN=90°，AH=AN，BH=DN，

∵∠EAF=45°，

∴∠HAM=45°，

在△AMH和△AMN中

∴△AHM≌△ANM，

∴MN=MH，

∵∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，

∴MH2=MB2+HB2，

∴MN2=MB2+ND2；

（3）解：∵AB=AG=12，

∴BD=12，

設MN=x，則DN=12﹣3﹣x=9﹣x，

由（2）得，MN2=MB2+ND2，

∴x2=（3）2+（9﹣x）2，解得x=5，

即MN的長為5．

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