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2018承德市中考數學壓軸試題

一、選擇題（本題42分，1-10題每題3分，11--16每小題3分下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的，請把正確的選項填在下一頁的表格內否則不得分）

1．0不是0的（　?。?/p>

A．倒數????????????? B．相反數????????????? C．絕對值????????????? D．平方根

2．下列各數中，比﹣2小的數是（　　）

A．0????????????? B．﹣1????????????? C．﹣3????????????? D．1

3．如圖，AB∥CD，點E在CD上，BC平分∠ABE，若∠C=25°，則∠BED的度數是（　?。?/p>

A．25°????????????? B．45°????????????? C．50°????????????? D．75°

4．用配方法將二次三項式a2﹣4a+5變形，結果是（　?。?/p>

A．（a﹣2）2+1????????????? B．（a+2）2﹣1????????????? C．（a+2）2+1????????????? D．（a﹣2）2﹣1

5．如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關系正確的是（　?。?/p>

A．m=n，k＞h????????????? B．m=n，k＜h????????????? C．m＞n，k=h????????????? D．m＜n，k=h

6．（承德中考數學）二次根式中x的取值范圍是（　?。?/p>

A．x≥????????????? B．x≤????????????? C．x＜????????????? D．x＞

7．下列計算正確的是（　　）

A．2a2+4a2=6a4????????????? B．（a+1）2=a2+1????????????? C．（a2）3=a5????????????? D．x7÷x5=x2

8．函數的圖象在（　　）

A．第一象限????????????? B．第一、三象限????????????? C．第二象限????????????? D．第二、四象限

9．已知平行四邊形ABCD中，∠B=4∠A，則∠C=（　?。?/p>

A．18°????????????? B．36°????????????? C．72°????????????? D．144°

10．若一元二次方程x2+2x+m=0有實數解，則m的取值范圍是（　?。?/p>

A．m≤﹣1????????????? B．m≤1????????????? C．m≤4????????????? D．

11．如圖表示一個由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示該位置上小立方塊的個數，那么該幾何體的主視圖為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

12．小明所在的九年級一班共有38名學生，一次體檢測量了全班學生的身高，由此求得該班學生的平均身高是1.67米，而小明的身高是1.66米，則下列說法錯誤的是（　　）

A．1.67米是該班學生身高的平均水平

B．班上比小明矮的學生人數不會超過19人

C．這組身高數據的中位數不一定是1.67米

D．這組身高數據的眾數不一定是1.67米

13．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AB⊥AC，AB=3，OC=4，則BD的長為（　　）

A．4????????????? B．5????????????? C．10????????????? D．12

14．（承德中考數學）如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑，若∠D=35°，則∠OAC的度數是（　?。?/p>

A．35°????????????? B．55°????????????? C．65°????????????? D．70°

15．如圖，已知A點坐標為（，0），直線y=x+b（b＞0）與y軸交于點B，連接AB，∠α=60°，則b的值為（　?。?/p>

A．3﹣3????????????? B． +3????????????? C．2+3????????????? D．2﹣3

16．如圖，正方形ABCD的邊長為a，AC與BD交于點O，E為OD中點，動點P從點O出發，沿折O→E→A→B→O的路徑運動，回到點O時運動停止．設點P運動的路程長為x，AP長為y，則y關于x的函數圖象大致是??? （　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

二、填空題（本題共18分，每小題3分）

17．2013年第一季度國內批發零售業生產總值絕對額為18 914億元，將用18 914億元用科學記數法表示為　　．

18．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2=　?。?/p>

19．經過三點（﹣1，0），（3，0）和（2，﹣3）的拋物線的解析式是　　；頂點坐標是　?。?/p>

20．（承德中考數學）如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN=3，那么BC=　?。?/p>

21．如圖，有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大圓心角為60°的扇形ABC．那么剪下的扇形ABC（陰影部分）的面積為　??；用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑r=　　．

22．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當△AEF的周長最小時，則cos∠EAF=　?。?/p>

三、解答題（本題共60分，第23題8分第24題6分，第25題4分、第26題、第27題各6分，第28題8分第29題30題各11分）

23．計算：

（1）32﹣（﹣）﹣3﹣|1﹣|+﹣sin60°+（﹣2）0﹣

（2）[﹣]÷．

24．已知：如圖，在平行四邊形ABCD 中，E為BC 中點，AE的延長線與DC的延長線相交于點F．求證：DC=CF．

25．（承德中考數學）有四張形狀、大小和質地相同的卡片A、B、C、D，正面分別畫有一個正多邊形（所有正多邊形的邊長相等），把四張卡片洗勻后正面朝下放在桌面上，從中隨機抽取一張（不放回），接著再隨機抽取一張．

（1）請你用畫樹形圖或列表的方法列舉出可能出現的所有結果；

（2）如果各種結果被選中的可能性相同，求兩次抽取的正多邊形邊數和最小的概率．

26．甲、乙兩人在某公司做見習推銷員，推銷“小天鵝”洗衣機，他們在1～8月份的銷售情況如下表所示：

（1）在下面給出的坐標系中，繪制甲、乙兩人這8個月的月銷售量的折線圖（甲用實線；乙用虛線）；

（2）求甲、乙銷售量兩組數據的眾數、中位數和平均數；

（3）結合（1）、（2），寫出2條關于甲、乙兩人在這8個月中銷售狀況的信息．

27．（承德中考數學）某書法班第一期開班，負責人到書店給學員購買一種字帖，該書店規定一次購買100本以上，可享受8折優惠．若給學員每人購買一本，不能享受8折優惠，需付款3080元；若多買22本，就可享受8折優惠，同樣只需付款3080元．請問該書法班第一期開班有多少名學員？

28．如圖所示．P是⊙O外一點．PA是⊙O的切線．A是切點．B是⊙O上一點．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）設∠AOQ=α，若cosα=，OQ=15，求AB的長．

29．某實驗大棚的一種花草每天的需水量y（千克）與生長時間x（天）之間的關系如折線圖所示．這些花草在第5天、第15天的需水量分別為1000千克、1500千克，在第20天后每天的需水量比前一天增加90千克．

（1）分別求出x≤20和x＞20時，y與x之間的關系式；

（2）如果這些花草每天的需水量大于或等于2200千克時需要進行人工澆灌，那么應從第幾天開始進行人工澆灌？

30．如圖，拋物線y=ax2+ax﹣6a與x軸交于A、B兩點（B在A右側），與y軸交于點C．

（1）求A、B兩點坐標；

（2）若AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，求拋物線及直線AD的解析式；

（3）若點G、C關于x軸對稱，直線GB交（2）中直線AD于點K，M、N分別為直線AC和直線AK上的兩個動點，連接CN、NM、MK，求CN+NM+MK的最小值．

　承德中考數學參考答案與試題解析

一、選擇題（本題42分，1-10題每題3分，11--16每小題3分下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的，請把正確的選項填在下一頁的表格內否則不得分）

1．0不是0的（　?。?/p>

A．倒數????????????? B．相反數????????????? C．絕對值????????????? D．平方根

【考點】實數．

【分析】根據倒數、相反數、絕對值和平方根進行判斷即可．

【解答】解：A、0不是0的倒數，符合題意；

B、0是0的相反數，不符合題意；

C、0是0的絕對值，不符合題意；

D、0是0的平方根，不符合題意；

故選A

2．（承德中考數學）下列各數中，比﹣2小的數是（　?。?/p>

A．0????????????? B．﹣1????????????? C．﹣3????????????? D．1

【考點】有理數大小比較．

【分析】先根據正數都大于0，負數都小于0，可排除A、D，再根據兩個負數，絕對值大的反而小，可得比﹣2小的數是﹣3．

【解答】解：根據兩個負數，絕對值大的反而小可知﹣3＜﹣2．

故選C．

3．如圖，AB∥CD，點E在CD上，BC平分∠ABE，若∠C=25°，則∠BED的度數是（　　）

A．25°????????????? B．45°????????????? C．50°????????????? D．75°

【考點】平行線的性質；角平分線的定義．

【分析】由AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等，即可求得∠ABC的度數，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度數，繼而求得答案．

【解答】解：∵AB∥CD，∠C=25°，

∴∠ABC=∠C=25°，

∵BC平分∠ABE，

∴∠ABE=2∠ABC=50°，

∵AB∥CD，

∴∠BED=∠ABE=50°．

故選：C．

4．用配方法將二次三項式a2﹣4a+5變形，結果是（　?。?/p>

A．（a﹣2）2+1????????????? B．（a+2）2﹣1????????????? C．（a+2）2+1????????????? D．（a﹣2）2﹣1

【考點】配方法的應用．

【分析】此題考查了配方法，解題時要注意常數項的確定方法，若二次項系數為1，則二次項與一次項再加上一次項系數的一半的平方即構成完全平方式，若二次項系數不為1，則可提取二次項系數，將其化為1．

【解答】解：∵a2﹣4a+5=a2﹣4a+4﹣4+5，

∴a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1．

故選A．

5．（承德中考數學）如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關系正確的是（　?。?/p>

A．m=n，k＞h????????????? B．m=n，k＜h????????????? C．m＞n，k=h????????????? D．m＜n，k=h

【考點】二次函數的性質．

【分析】由圖看出兩拋物線的對稱軸相同，故m=n，拋物線的頂點縱坐標k在h上方，故k＞h，故選項A正確，其他錯誤．

【解答】解：A，由圖看出兩拋物線的對稱軸相同，故m=n，拋物線的頂點縱坐標k在h上方，故k＞h，故該選項正確；

B，由A選項分析相同，故本選項錯誤；

C，由A選項分析相同，故本選項錯誤；

D，由A選項分析相同，故本選項錯誤．

故選A．

6．二次根式中x的取值范圍是（　　）

A．x≥????????????? B．x≤????????????? C．x＜????????????? D．x＞

【考點】二次根式有意義的條件．

【分析】根據被開方數大于等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由題意得，x﹣≥0，

解得x≥．

故選A．

7．下列計算正確的是（　?。?/p>

A．2a2+4a2=6a4????????????? B．（a+1）2=a2+1????????????? C．（a2）3=a5????????????? D．x7÷x5=x2

【考點】完全平方公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；同底數冪的除法．

【分析】根據合并同類項對A進行判斷；根據完全平方公式對B進行判斷；根據冪的乘方法則對C進行判斷；根據同底數冪的除法法則對D進行判斷．

【解答】解：A、2a2+4a2=6a2，所以A選項不正確；

B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B選項不正確；

C、（a2）5=a10，所以C選項不正確；

D、x7÷x5=x2，所以D選項正確．

故選D．

8．（承德中考數學）函數的圖象在（　?。?/p>

A．第一象限????????????? B．第一、三象限????????????? C．第二象限????????????? D．第二、四象限

【考點】反比例函數的性質．

【分析】由于函數解析式中有，則x必為非負數，又由于函數解析式中有，故x≠0，所以x＞0，此時y＞0，故函數在第一象限．

【解答】解：∵中x≥0，

中x≠0，

故x＞0，

此時y＞0，

則函數在第一象限．

故選A．

9．已知平行四邊形ABCD中，∠B=4∠A，則∠C=（　?。?/p>

A．18°????????????? B．36°????????????? C．72°????????????? D．144°

【考點】平行四邊形的性質；平行線的性質．

【分析】關鍵平行四邊形性質求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度數，即可求出∠C．

【解答】解：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠C=∠A，BC∥AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠B=4∠A，

∴∠A=36°，

∴∠C=∠A=36°，

故選B．

10．若一元二次方程x2+2x+m=0有實數解，則m的取值范圍是（　?。?/p>

A．m≤﹣1????????????? B．m≤1????????????? C．m≤4????????????? D．

【考點】根的判別式．

【分析】由一元二次方程有實數根，得到根的判別式大于等于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍．

【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有實數解，

∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，

解得：m≤1，

則m的取值范圍是m≤1．

故選：B．

11．（承德中考數學）如圖表示一個由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示該位置上小立方塊的個數，那么該幾何體的主視圖為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】由三視圖判斷幾何體．

【分析】從正面看可看到每列正方體的最多個數分別為2，2，1，表示為平面圖形即可，

【解答】解：俯視圖中的每個數字是該位置小立方體的個數，分析其中的數字，

得主視圖有3列，從左到右的列數分別是2，2，1．

故選C．

12．小明所在的九年級一班共有38名學生，一次體檢測量了全班學生的身高，由此求得該班學生的平均身高是1.67米，而小明的身高是1.66米，則下列說法錯誤的是（　?。?/p>

A．1.67米是該班學生身高的平均水平

B．班上比小明矮的學生人數不會超過19人

C．這組身高數據的中位數不一定是1.67米

D．這組身高數據的眾數不一定是1.67米

【考點】眾數；中位數．

【分析】A：根據算術平均數的含義，可得1.67米是該班學生身高的平均水平，據此判斷即可．

B：根據小明所在的九年級一班共有38名學生，可得班上比小明高的學生可能超過19人，據此判斷即可．

C：根據中位數的含義，可得這組身高的中位數不一定是1.67米，據此判斷即可．

D：根據眾數的含義，可得這組身高的眾數不一定是1.67米，據此判斷即可

【解答】解：∵該班學生的平均身高為1.67米，

∴1.67米是該班學生身高的平均水平，

∴選項A正確，不符合題意；

∵小明所在的九年級一班共有38名學生，

∴班上比小明高的學生可能超過19人，

∴選項B不正確，符合題意；

∵這組身高的中位數不一定是1.67米，

∴選項C正確，不符合題意；

∵這組身高的眾數不一定是1.67米，

∴選項D正確，不符合題意．

故選：B．

13．（承德中考數學）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AB⊥AC，AB=3，OC=4，則BD的長為（　?。?/p>

A．4????????????? B．5????????????? C．10????????????? D．12

【考點】平行四邊形的性質．

【分析】利用平行四邊形的性質和勾股定理易求BO的長，進而可求出BD的長．

【解答】解：∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，

∴BO=DO，AO=OC=4，

∵AB⊥AC，AB=3，

∴∠BAO=90°，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO==5，

∴BD=2BO=10，

故選：C．

14．如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑，若∠D=35°，則∠OAC的度數是（　?。?/p>

A．35°????????????? B．55°????????????? C．65°????????????? D．70°

【考點】圓周角定理．

【分析】在同圓和等圓中，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，所以∠AOC=2∠D=70°，而△AOC中，AO=CO，所以∠OAC=∠OCA，而180°﹣∠AOC=110°，所以∠OAC=55°．

【解答】解：∵∠D=35°，

∴∠AOC=2∠D=70°，

∴∠OAC=÷2=110°÷2=55°．

故選：B．

15．如圖，已知A點坐標為（，0），直線y=x+b（b＞0）與y軸交于點B，連接AB，∠α=60°，則b的值為（　?。?/p>

A．3﹣3????????????? B． +3????????????? C．2+3????????????? D．2﹣3

【考點】（承德中考數學）一次函數圖象上點的坐標特征．

【分析】令直線y=x+b與x軸交于點C，根據直線的解析式可求出點B、C的坐標，進而得出∠BCO=45°，再通過角的計算得出∠BAO=15°，以BA為邊在∠ABO內部作∠ABD=∠BAO=15°，可設AD=BD=x，得OD=OA﹣AD=﹣x，在Rt△BOD中根據cos∠BDO=求得x，即可得BD的長，再根據BO=BDsin∠BDO可得答案．

【解答】解：令直線y=x+b與x軸交于點C，

令y=x+b中x=0，則y=b，

∴B（0，b）；

令y=x+b中y=0，則x=﹣b，

∴C（﹣b，0）．

∴∠BCO=45°．

∵α=∠BCO+∠BAO=60°，

∴∠BAO=15°，

如圖，以BA為邊在∠ABO內部作∠ABD=∠BAO=15°，

設AD=BD=x，

∴OD=OA﹣AD=﹣x，

在Rt△BOD中，∵∠BDO=∠ABD+∠BAO=30°，

∴cos∠BDO=，即=，

解得：x=4﹣6，即BD=4﹣6，

∴BO=BDsin∠BDO=（4﹣6）×=2﹣3，

故選：D．

16．如圖，正方形ABCD的邊長為a，AC與BD交于點O，E為OD中點，動點P從點O出發，沿折O→E→A→B→O的路徑運動，回到點O時運動停止．設點P運動的路程長為x，AP長為y，則y關于x的函數圖象大致是??? （　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】（承德中考數學）動點問題的函數圖象．

【分析】根據題意設出點P運動的路程x與點P到點A的距離y的函數關系式，然后對點P在不同線段上時分別進行分析，并寫出分段函數，結合圖象得出答案．

【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為a，

∴BD=a，AC⊥BD，

∴OD=，

∵E為OD中點，

∴OE=a，

當點P在OE上時，

∵OP=x，OA=a，

∴y=，

當點P在AE上時，

在Rt△AOE中，AE==a，

∴y=﹣x=﹣x+a；

當點P在AB上時，

∴y=x﹣a，

當點P在OB上時，

∵OP=a+a+a+a﹣x=a﹣x，

∴y==，

合函數解析式可以得出第1，4段函數的圖象是開口向上的拋物線，第2，3段函數的圖象是直線，故只有A符合要求，

故選：A．

二、（承德中考數學）填空題（本題共18分，每小題3分）

17．2013年第一季度國內批發零售業生產總值絕對額為18 914億元，將用18 914億元用科學記數法表示為　1.8914×109　．

【考點】科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：18 914億元用科學記數法表示為1.8914×109，

故答案為：1.8914×109．

18．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2=　3x（x﹣2xy+y2）　．

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．

【分析】原式提取公因式分解即可．

【解答】解：原式=3x（x﹣2xy+y2），

故答案為：3x（x﹣2xy+y2）

19．經過三點（﹣1，0），（3，0）和（2，﹣3）的拋物線的解析式是　y=x2﹣2x﹣3??；頂點坐標是　（1，﹣4）?。?/p>

【考點】待定系數法求二次函數解析式．

【分析】先設所求二次函數的解析式是y=ax2+bx+c，再把（﹣1，0），（3，0）和（2，﹣3）代入，可得關于a、b、c的三元一次方程組，解可求a、b、c，進而可得二次函數解析式，再利用頂點公式易求頂點坐標．

【解答】解：設所求二次函數的解析式是y=ax2+bx+c，

把（﹣1，0），（3，0）和（2，﹣3）代入函數解析式，得

，

解得

，

∴所求二次函數解析式是y=x2﹣2x﹣3，

∴﹣=1， =﹣4．

∴頂點的坐標是（1，﹣4）．

20．如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN=3，那么BC=　6　．

【考點】（承德中考數學）三角形中位線定理；垂徑定理．

【分析】由AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根據垂徑定理可知M、N為AB、AC的中點，線段MN為△ABC的中位線，根據中位線定理可知BC=2MN．

【解答】解：∵AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，

∴M、N為AB、AC的中點，即線段MN為△ABC的中位線，

∴BC=2MN=6．

故答案為：6．

21．如圖，有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大圓心角為60°的扇形ABC．那么剪下的扇形ABC（陰影部分）的面積為　2π?。挥么思粝碌纳刃舞F皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑r=　?。?/p>

【考點】圓錐的計算．

【分析】（1）連OA，作OD⊥AC于D，根據垂徑定理得到AD=DC，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到AC=2，再利用扇形的面積公式可計算出S陰影部分的面積；

（2）先根據弧長公式計算出弧BC的長，然后根據圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長計算該圓錐的底面圓的半徑．

【解答】解：連OA，作OD⊥AC于D，如圖，

則AD=DC，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAD=30°，

∴OD=OA=×2=1，

∴AD=，

∴AC=2，

∴S陰影部分==2π；

（2）∵弧BC的長==π，

∴圓錐的底面圓的半徑==．

故答案為：2π；．

22．（承德中考數學）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當△AEF的周長最小時，則cos∠EAF=　?。?/p>

【考點】軸對稱﹣最短路線問題；矩形的性質；解直角三角形．

【分析】作點E關于直線CD的對稱點E′，連接AE′交CD于點F，作EH⊥AF于H．，再根據△CEF∽△BEA即可求出CF的長，進而得出DF的長，想辦法求出AE、AH，即可求出cos∠EAF的值．

【解答】解：作點E關于直線CD的對稱點E′，連接AE′交CD于點F，作EH⊥AF于H．

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC中點，

∴BE=CE=CE′=4，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴，即，解得CF=2，

∴DF=CD﹣CF=6﹣2=4．

∴AE==2，AF==4，

∵S△AEF=?AF?EH=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△EFC，

∴?EH=16，

∴EH=，

在Rt△AEH中，AH===，

∴cos∠EAF===．

故答案為．

三、（承德中考數學）解答題（本題共60分，第23題8分第24題6分，第25題4分、第26題、第27題各6分，第28題8分第29題30題各11分）

23．計算：

（1）32﹣（﹣）﹣3﹣|1﹣|+﹣sin60°+（﹣2）0﹣

（2）[﹣]÷．

【考點】分式的混合運算；實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．

【分析】（1）首先計算乘方，開方，去掉絕對值符號，計算0次冪，然后合并同類二次根式即可；

（2）首先對分式進行化簡，然后計算分式的加減，把除法轉化為乘法，然后計算乘法即可．

【解答】解：（1）原式=9﹣（﹣8）﹣（﹣1）+3﹣+1﹣=9+8﹣+1+3+1﹣=18+；

（2）原式=[﹣]?

=[﹣]?

=?

=1．

24．已知：如圖，在平行四邊形ABCD 中，E為BC 中點，AE的延長線與DC的延長線相交于點F．求證：DC=CF．

【考點】（承德中考數學）平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．

【分析】利用平行四邊形的兩組對邊分別平行即可得到兩角相等，再證明兩三角形全等，即可得出結論．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD∥AB，AB=CD，

∴∠DFA=∠FAB；

∵E為BC中點，

∴EC=EB，

∴在△ABE與△FCE中，，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB=CF，

∴DC=CF．

25．有四張形狀、大小和質地相同的卡片A、B、C、D，正面分別畫有一個正多邊形（所有正多邊形的邊長相等），把四張卡片洗勻后正面朝下放在桌面上，從中隨機抽取一張（不放回），接著再隨機抽取一張．

（1）請你用畫樹形圖或列表的方法列舉出可能出現的所有結果；

（2）如果各種結果被選中的可能性相同，求兩次抽取的正多邊形邊數和最小的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法．

【分析】（1）通過畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數；

（2）找出兩次抽取的正多邊形邊數和最小的結果數，然后根據概率公式求解．

【解答】解：（1）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數；

（2）兩次抽取的正多邊形邊數和最小的結果數為2，

所以兩次抽取的正多邊形邊數和最小的概率==．

26．（承德中考數學）甲、乙兩人在某公司做見習推銷員，推銷“小天鵝”洗衣機，他們在1～8月份的銷售情況如下表所示：

（1）在下面給出的坐標系中，繪制甲、乙兩人這8個月的月銷售量的折線圖（甲用實線；乙用虛線）；

（2）求甲、乙銷售量兩組數據的眾數、中位數和平均數；

（3）結合（1）、（2），寫出2條關于甲、乙兩人在這8個月中銷售狀況的信息．

【考點】折線統計圖；加權平均數；中位數；眾數．

【分析】（1）先描出甲的8個月銷售量的各點，再將各點用線段連接起來就是甲的折線統計圖，同理，可制的乙的折線統計圖；

（2）根據平均數、眾數和中位數的概念直接求解，

（3）結合折線圖以及所求數據即可得出相關信息，合理即可．

【解答】解：（1）如圖：甲用實線；乙用虛線；

；

（2）甲的平均數=（7+8+6+7+6+6+7+7）÷8=6.75；

甲的眾數是一組數據中出現次數最多的數據，所以眾數為7；

將這組數據從大到小的順序排列后甲的中位數=（7+7）÷2=7．

乙的平均數=（5+6+6+5+8+9+7+7）÷8=6.625；

乙的眾數是一組數據中出現次數最多的數據，所以眾數為5，6，7；

將這組數據從大到小的順序排列后乙的中位數=（6+7）÷2=6.5．

（3）據（1）中的折線圖，寫出2條關于甲乙兩人在這8個月中的銷售狀況的信息：

①甲銷量較穩定；

②甲最多銷售8臺/月，乙最多9臺/月．

27．（承德中考數學）某書法班第一期開班，負責人到書店給學員購買一種字帖，該書店規定一次購買100本以上，可享受8折優惠．若給學員每人購買一本，不能享受8折優惠，需付款3080元；若多買22本，就可享受8折優惠，同樣只需付款3080元．請問該書法班第一期開班有多少名學員？

【考點】分式方程的應用．

【分析】設該書法班第一期開班有x名學員，根據“學員的總人數不變”列分式方程求解可得．

【解答】解：設該書法班第一期開班有x名學員，

根據題意可得：×0.8=，

解得：x=88．

經檢驗：x=88是原方程的解且符合題意

答：該書法班第一期開班有88名學員．

28．如圖所示．P是⊙O外一點．PA是⊙O的切線．A是切點．B是⊙O上一點．且PA=PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）設∠AOQ=α，若cosα=，OQ=15，求AB的長．

【考點】切線的判定與性質；相似三角形的判定與性質；解直角三角形．

【分析】（1）連接OP，與AB交于點C．欲證明PB是⊙O的切線，只需證明∠OBP=90°，證明△OAP≌△OBP即可；

（2）連OP并交AB于點C，先由三角函數求出OA、AQ、BQ，再證明△QAO∽△QBP，得出比例式、求出PQ、PA，由勾股定理知OP，然后由三角形相似求出AC，即可得出AB的長．

【解答】（承德中考數學）（1）證明：連接OP，與AB交于點C；如圖所示：在△OAPh5△OBP中，，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切線，A是切點，

∴∠OAP=90°，

∴∠OBP=90°，

∴PB是⊙O的切線；

（2）解：連OP并交AB于點C，

在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，

∴OA=12，AQ=9，

∴BQ=27；

∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，

∴△QAO∽△QBP，

∴，即，

∴PQ=45，

∴PA=36，

∴OP==12；

∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°

∴△PAC∽△POA，

∴，

∴PA?OA=OP?AC，即36×12=12?AC，

∴AC=，

∴AB=．

29．某實驗大棚的一種花草每天的需水量y（千克）與生長時間x（天）之間的關系如折線圖所示．這些花草在第5天、第15天的需水量分別為1000千克、1500千克，在第20天后每天的需水量比前一天增加90千克．

（1）分別求出x≤20和x＞20時，y與x之間的關系式；

（2）如果這些花草每天的需水量大于或等于2200千克時需要進行人工澆灌，那么應從第幾天開始進行人工澆灌？

【考點】一次函數的應用．

【分析】（承德中考數學）（1）設y=kx+b．把已知坐標代入求出k，b的值．求出y與x的函數關系式；再根據x的取值求出各段的函數解析式；

（2）令y≥2200時，轉化為不等式問題求解．

【解答】解：（1）當x≤20時，設y=kx+b．

根據題意，得：

，

解這個方程組，得：

，

∴當x＜20時，y與x之間的關系式是y=50x+750；

∴當x=20時，y=50×20+750=1750；

當x≥20時，根據題意，得y=90（x﹣20）+1750，

即y=90x﹣50．

∴當x≥20時，y與x之間的關系式是y=90x﹣50．

（2）當y≥2200時，y與x之間的關系式是y=90x﹣50．

解不等式90x﹣50≥2200．

得x≥25．

∴應從第25天開始進行人工灌溉．

30．如圖，拋物線y=ax2+ax﹣6a與x軸交于A、B兩點（B在A右側），與y軸交于點C．

（1）求A、B兩點坐標；

（2）若AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，求拋物線及直線AD的解析式；

（3）若點G、C關于x軸對稱，直線GB交（2）中直線AD于點K，M、N分別為直線AC和直線AK上的兩個動點，連接CN、NM、MK，求CN+NM+MK的最小值．

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（承德中考數學）（1）利用x軸上點的坐標特征直接確定出點A，B坐標；

（2）先判斷出AC=AB=4，進而求出點C的坐標，用待定系數法求出拋物線和直線AD的解析式；

（3）先確定出CN+NM+MK的最小值時，點M，N的位置，再確定出直線交點坐標K，最后利用中點坐標公式確定出點Q坐標，即可求出BQ．

【解答】解：（1）∵y=ax2+ax﹣6a=a（x2+x﹣6）=a（x+3）（x﹣2）=0，

∴x=﹣3或x=2，

∵B在A右側，

∴A（﹣3，0），B（2，0）；

（2）如圖1，由（1）知，A（﹣3，0），B（2，0），

∴AB=5，

∵AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，

∴AC=AB=5，

根據勾股定理得，OC==4，

∴C（0，4），

∵點C在拋物線y=ax2+ax﹣6a上，

∴﹣6a=4，

∴a=﹣，

∴拋物線y=﹣x2﹣x+4，

∵AC=AB，AD⊥CB，

∴BD=CD，

∴點D是BC中點，

∵B（2，0），C（0，4），

∴D（1，2），

∵A（﹣3，0），

∴直線AD的解析式為y=x+；

（3）（承德中考數學）如圖2，作出點K關于直線AC的對稱點Q，連接QB交AC于M，AK于N，

∴MQ=MK，

∵AD垂直平分BC，

∴CN=BN，

∴CN+NM+MK=BN+MN+QM，

∴點Q，M，N，B在同一條直線上時，CN+NM+MK最小，最小值為BQ，∵點G、C（0，4）關于x軸對稱，

∴G（0，﹣4），

∵B（0，2），

∴直線BG的解析式為y=2x﹣4①，

由（2）知，直線AD的解析式為y=x+②，

聯立①②得，

，解得，，

∴K（，），

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴直線AC的解析式為y=x+4③，

∵QK⊥AC，∴直線QK的解析式為y=﹣x+④，

聯立③④解得，P（1，），

∵點P是QK的中點，

∴Q（﹣，2），

∵B（2，0），

∴BQ==．

即：CN+NM+MK的最小值為．

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