2018年廣東省揭陽(yáng)市九年級(jí)中考數(shù)學(xué)試題【解析版含答案】

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一、選擇題：（本題10小題，每題3分，共30分）

1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A．x+=0????????????? B．a(chǎn)x2+bx+c=0

C．（x﹣1）（x+2）=1????????????? D．3x2﹣2xy﹣5y2=0

2．下列各未知數(shù)的值是方程x2=2的解是（）

A．x=﹣1????????????? B．x=0????????????? C．x=﹣????????????? D．x=2

3．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，有“兩次正面朝上一次反面朝上”的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

4．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A．內(nèi)角和為360°????????????? B．對(duì)角線相等

C．對(duì)角線平分內(nèi)角????????????? D．對(duì)角線互相垂直平分

5．下列能使平行四邊形ABCD是矩形的條件是（）

A．AB=CD????????????? B．AC⊥BD????????????? C．∠ABC=90°????????????? D．AD=BC

6．下列事件是必然事件的是（）

A．明天天氣是多云轉(zhuǎn)晴????????????? B．農(nóng)歷15晚上一定能看見(jiàn)月亮

C．打開(kāi)電視正在播放廣告????????????? D．晝夜交替

7．關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）

A．x≥0????????????? B．x≥0且≠1????????????? C．m≠1????????????? D．m＞1

8．在10000張獎(jiǎng)券中，有200張中獎(jiǎng)，購(gòu)買(mǎi)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

9．已知正方形ABCD，等邊三角形PAQ，其中點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，則∠BAP=（）

A．10°????????????? B．15°????????????? C．20°????????????? D．30°

10．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點(diǎn)G在邊CD上，則DG的長(zhǎng)為（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）

12．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是．

13．若方程x2+px+1=0的兩根x1，x2，其中x1+x2=﹣2，則p=．

14．某手機(jī)經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià)，每部手機(jī)從3600元降到2500元，平均每次降價(jià)的百分率為．

15．連續(xù)擲兩枚骰子，它們的點(diǎn)數(shù)相同的概率是．

16．在實(shí)屬范圍內(nèi)定義新運(yùn)算“⊕”其法則為a⊕b=a2﹣b2，則（4⊕3）⊕x=24的解為．

17．如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為．

三、解答題：（本題共3小題，每小題6分，共18分）

18．解方程：

（1）x2﹣4x﹣5=0

（2）2x2﹣2x﹣3=0．

19．兩廠端午節(jié)包粽子，據(jù)了解，甲廠家生產(chǎn)了A、B、C三個(gè)品種的粽子，乙廠家生產(chǎn)了D、E兩個(gè)品種的粽子，商場(chǎng)在甲、乙兩個(gè)廠家中各購(gòu)一個(gè)品種的粽子銷(xiāo)售．

（1）用樹(shù)狀圖或表格法寫(xiě)出所有選購(gòu)方案．

（2）如果（1）中各種選購(gòu)被選中的可能性相同，那么甲廠家的B種粽子被選中的概率是多少？

20．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF．

（1）證明：四邊形AECF是矩形；

（2）若AB=8，求菱形的面積．

四、解答題：（本題共3小題，每小題7分，共21分）

21．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定關(guān)系，每盆植3株時(shí)，平均盈利4元，若每盆增加1株，每盆中能在3株到5株之間，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？

22．已知，x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根，

（1）求+的值；

（2）求一個(gè)新的一元二次方程，使它的兩根分別是原方程兩根的相反數(shù)．

23．如圖，AD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，DF∥AC，分別交AC、AB于點(diǎn)E和F．

（1）在圖中畫(huà)出線段DE和DF；

（2）連接EF，則線段AD和EF互相垂直平分，這是為什么？

五、解答題：（本題共3題，每小題9分，共27分）

24．已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．

（1）k取何值時(shí)？△ABC為等腰三角形．

（2）k取何值時(shí)？△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

25．如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

26．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

2018年廣東省揭陽(yáng)市九年級(jí)中考數(shù)學(xué)試題參考答案與試題解析

一、選擇題：（本題10小題，每題3分，共30分）

1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A．x+=0????????????? B．a(chǎn)x2+bx+c=0

C．（x﹣1）（x+2）=1????????????? D．3x2﹣2xy﹣5y2=0

【考點(diǎn)】一元二次方程的定義．

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．

【解答】解：A、是分式方程，故A錯(cuò)誤；

B、a=0時(shí)是一元一次方程，故B錯(cuò)誤；

C、是一元二次方程，故C正確；

D、是二元二次方程，故D錯(cuò)誤；

故選：C．

2．下列各未知數(shù)的值是方程x2=2的解是（）

A．x=﹣1????????????? B．x=0????????????? C．x=﹣????????????? D．x=2

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法．

【分析】直接開(kāi)平方法求得方程的解即可判斷．

【解答】解：∵x2=2，

∴x=或x=﹣，

故選：C．

3．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次，有“兩次正面朝上一次反面朝上”的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法．

【分析】畫(huà)出樹(shù)狀圖，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可得．

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可知共有8種等可能結(jié)果，其中有“兩次正面朝上一次反面朝上”的有3種結(jié)果，

∴P（兩次正面朝上一次反面朝上）=，

故選：C．

4．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A．內(nèi)角和為360°????????????? B．對(duì)角線相等

C．對(duì)角線平分內(nèi)角????????????? D．對(duì)角線互相垂直平分

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．

【分析】因?yàn)檎叫渭仁翘厥獾牧庑我彩翘厥獾木匦危哉叫尉哂校庑尾痪哂械木椭荒苁蔷匦蔚男再|(zhì)，可得答案．

【解答】解：因?yàn)檎叫渭仁翘厥獾牧庑我彩翘厥獾木匦危?/p>

所以正方形具有，但菱形不具有的就只能是矩形的性質(zhì)，

即矩形的對(duì)角線相等，而菱形的對(duì)角線不一定相等．

故選B．

5．下列能使平行四邊形ABCD是矩形的條件是（）

A．AB=CD????????????? B．AC⊥BD????????????? C．∠ABC=90°????????????? D．AD=BC

【考點(diǎn)】矩形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)矩形的判定定理對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，以及利用菱形的判定定理分別得出圖形的形狀，據(jù)此分析判斷．

【解答】解：

A、平行四邊形中，AB=CD，無(wú)法判定平行四邊形ABCD是矩形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、AC⊥BD，對(duì)角線互相垂直，可判定平行四邊形ABCD是菱形．故此選項(xiàng)不符合題意；

C、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故此選項(xiàng)符合題意；

D．平行四邊形中，AD=BC，無(wú)法判定平行四邊形ABCD是矩形，故此選項(xiàng)不符合題意，

故選：C．

6．下列事件是必然事件的是（）

A．明天天氣是多云轉(zhuǎn)晴????????????? B．農(nóng)歷15晚上一定能看見(jiàn)月亮

C．打開(kāi)電視正在播放廣告????????????? D．晝夜交替

【考點(diǎn)】隨機(jī)事件．

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類(lèi)型即可．

【解答】解：A、明天天氣是多云轉(zhuǎn)晴是隨機(jī)事件，故A不符合題意；

B、農(nóng)歷15晚上一定能看見(jiàn)月亮是隨機(jī)事件，故B不符合題意；

C、打開(kāi)電視正在播放廣告是隨機(jī)事件，故C不符合題意；

D、晝夜交替是必然事件，故D符合題意；

故選：D．

7．關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）

A．x≥0????????????? B．x≥0且≠1????????????? C．m≠1????????????? D．m＞1

【考點(diǎn)】根的判別式．

【分析】若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．還要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．

【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m=0有實(shí)數(shù)根，

∴△=（2m）2﹣4（m﹣1）?m≥0且m﹣1≠0，

解得：m≥0且m≠1，

故選B．

8．在10000張獎(jiǎng)券中，有200張中獎(jiǎng)，購(gòu)買(mǎi)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點(diǎn)】概率公式．

【分析】中獎(jiǎng)的總張數(shù)除以獎(jiǎng)券的總張數(shù)即為能中獎(jiǎng)的概率．

【解答】解：∵中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券有200張，獎(jiǎng)券有10000張，

∴從中任抽一張能中獎(jiǎng)的概率為=．

故選：A．

9．已知正方形ABCD，等邊三角形PAQ，其中點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，則∠BAP=（）

A．10°????????????? B．15°????????????? C．20°????????????? D．30°

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

【分析】先證明△AQD≌△APB，然后可知∠DAQ=∠BAP，再根據(jù)正方形與等邊三角形的性質(zhì)即可求出∠BAP的值．

【解答】解：由題意可知：AD=AB，AQ=AP

在Rt△AQD與Rt△APB中，

∴Rt△AQD≌Rt△APB（HL）

∴∠DAQ=∠BAP，

∴∠DAQ+∠BAP=∠DAB﹣∠QAP=30°，

∴BAP=15°

10．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點(diǎn)G在邊CD上，則DG的長(zhǎng)為（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；勾股定理．

【分析】利用勾股定理求出CM的長(zhǎng)，即ME的長(zhǎng)，有DE=DG，可以求出DE，進(jìn)而得到DG的長(zhǎng)．

【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，M為邊DA的中點(diǎn)，

∴DM=AD=DC=1，

∴CM==，

∴ME=MC=，

∵ED=EM﹣DM=﹣1，

∵四邊形EDGF是正方形，

∴DG=DE=﹣1．

故選：D．

二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）

12．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是　x1=1、x2=﹣2　．

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】由題已知的方程已經(jīng)因式分解，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0，求出方程的解．

【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=0

∴x﹣1=0或x+2=0

∴x1=1，x2=﹣2，

故答案為x1=1、x2=﹣2．

13．若方程x2+px+1=0的兩根x1，x2，其中x1+x2=﹣2，則p=　2　．

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=﹣，再代入得出p的值即可．

【解答】解：∵方程x2+px+1=0的兩根x1，x2，

∴x1+x2=﹣，

∵a=1，b=p，x1+x2=﹣2，

∴﹣p=﹣2，

∴p=2，

故答案為2．

14．某手機(jī)經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià)，每部手機(jī)從3600元降到2500元，平均每次降價(jià)的百分率為　16.7%　．

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．

【分析】根據(jù)：原售價(jià)×（1﹣降低率）2=降低后的售價(jià)，然后列出方程求解即可．

【解答】解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，

依題意得：3600（1﹣x）2=2500，

化簡(jiǎn)得：（1﹣x）2=，

解得：x=或（舍去），

所以平均每次降價(jià)的百分率為×100%≈16.7%．

故答案為：16.7%．

15．連續(xù)擲兩枚骰子，它們的點(diǎn)數(shù)相同的概率是　　．

【考點(diǎn)】概率公式．

【分析】先求出連續(xù)擲兩枚骰子時(shí)它們的點(diǎn)數(shù)，再求出點(diǎn)數(shù)相同的情況，根據(jù)概率公式即可解答．

【解答】解：連續(xù)擲兩枚骰子，它們的點(diǎn)數(shù)共有6×6=36個(gè)，而點(diǎn)數(shù)相同的情況共6種，概率是=．

16．在實(shí)屬范圍內(nèi)定義新運(yùn)算“⊕”其法則為a⊕b=a2﹣b2，則（4⊕3）⊕x=24的解為　x1=5，x2=﹣5　．

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法．

【分析】根據(jù)題意將原式轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)而利用直接開(kāi)平方法求出即可．

【解答】解：∵a⊕b=a2﹣b2，

∴（4⊕3）⊕x=24可化為：（42﹣32）⊕x=24，

則72﹣x2=24，

故x2=25，

解得：x1=5，x2=﹣5．

故答案為：x1=5，x2=﹣5．

17．如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為　8　．

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．

【分析】先設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，再根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)為2求出a的值，由圖形翻折變換的性質(zhì)可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，由陰影部分的周長(zhǎng)=A′B′+A′H+BH+BC+CG+B′G即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則2a2=（2）2，解得a=2，

翻折變換的性質(zhì)可知AD=A′B′，A′H=AH，B′G=DG，

陰影部分的周長(zhǎng)=A′B′+（A′H+BH）+BC+（CG+B′G）=AD+AB+BC+CD=2×4=8．

故答案為：8．

三、解答題：（本題共3小題，每小題6分，共18分）

18．解方程：

（1）x2﹣4x﹣5=0

（2）2x2﹣2x﹣3=0．

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】（1）因式分解法求解可得；

（2）公式法求解可得．

【解答】解：（1）∵（x+1）（x﹣5）=0，

∴x+1=0或x﹣5=0，

解得：x=﹣1或x=5；

（2）∵a=2，b=﹣2，c=﹣3，

∴△=20﹣4×2×（﹣3）=44＞0，

則x==．

19．兩廠端午節(jié)包粽子，據(jù)了解，甲廠家生產(chǎn)了A、B、C三個(gè)品種的粽子，乙廠家生產(chǎn)了D、E兩個(gè)品種的粽子，商場(chǎng)在甲、乙兩個(gè)廠家中各購(gòu)一個(gè)品種的粽子銷(xiāo)售．

（1）用樹(shù)狀圖或表格法寫(xiě)出所有選購(gòu)方案．

（2）如果（1）中各種選購(gòu)被選中的可能性相同，那么甲廠家的B種粽子被選中的概率是多少？

【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法．

【分析】（1）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果；

（2）由（1）可求得甲廠家的B品種粽子被選中的情況，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖得：

則共有6種等可能的結(jié)果；

（2）∵甲廠家的B品種粽子被選中的有2種情況，

∴P（B品種粽子被選中）=．

20．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF．

（1）證明：四邊形AECF是矩形；

（2）若AB=8，求菱形的面積．

【考點(diǎn)】矩形的判定；勾股定理；菱形的性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根據(jù)菱形的對(duì)邊平行且相等以及中點(diǎn)的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可得證；

（2）根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)度，然后利用菱形的面積等于底乘以高計(jì)算即可得解．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），

∴∠1=90°，

∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，

∴AF=AD，EC=BC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD=BC，

∴AF∥EC且AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

又∵∠1=90°，

∴四邊形AECF是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE==4，

所以，S菱形ABCD=8×4=32．

四、解答題：（本題共3小題，每小題7分，共21分）

21．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定關(guān)系，每盆植3株時(shí)，平均盈利4元，若每盆增加1株，每盆中能在3株到5株之間，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多植多少株？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．

【分析】根據(jù)已知假設(shè)每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，得出平均單株盈利為（4﹣0.5x）元，由題意得（x+3）（4﹣0.5x）=15求出即可．

【解答】解：設(shè)每盆應(yīng)該多植x株，由題意得

（3+x）（4﹣0.5x）=15，

解得：x1=2，x2=3．

因?yàn)橐冶M可能地減少成本，所以x2=3舍去，

x+3=5．

答：每盆植5株時(shí)，每盆的盈利15元．

22．已知，x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根，

（1）求+的值；

（2）求一個(gè)新的一元二次方程，使它的兩根分別是原方程兩根的相反數(shù)．

【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．

【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x1+x2=2、x1?x2=﹣3，將+變形為，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；

（2）由x1+x2=2、x1?x2=﹣3可得出（﹣x1）+（﹣x2）=﹣（x1+x2）=﹣2、（﹣x1）?（﹣x2）=x1?x2=﹣3，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得出當(dāng)a為1時(shí)，以﹣x1和﹣x2為兩根的一元二次方程，此題得解．

【解答】解：（1）∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根，

∴x1+x2=2，x1?x2=﹣3，

∴+===﹣．

（2）∵x1+x2=2，x1?x2=﹣3，

∴（﹣x1）+（﹣x2）=﹣（x1+x2）=﹣2，（﹣x1）?（﹣x2）=x1?x2=﹣3，

∴當(dāng)a=1時(shí)，﹣x1和﹣x2是方程x2+2x﹣3=0的解，

即新方程為x2+2x﹣3=0．

23．如圖，AD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，DF∥AC，分別交AC、AB于點(diǎn)E和F．

（1）在圖中畫(huà)出線段DE和DF；

（2）連接EF，則線段AD和EF互相垂直平分，這是為什么？

【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖．

【分析】（1）根據(jù)題目要求畫(huà)出線段DE、DF即可；

（2）首先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再證明∠EAD=∠EDA，根據(jù)等角對(duì)等邊可得EA=ED，由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可證明四邊形AEDF是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得線段AD和EF互相垂直平分．

【解答】解（1）如圖所示；

（2）∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠FAD=∠EAD，

∵AB∥DE，

∴∠FAD=∠EDA，

∴EA=ED（等角對(duì)等邊），

∴平行四邊形AEDF是菱形，

∴AD與EF互相垂直平分．

五、解答題：（本題共3題，每小題9分，共27分）

24．已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．

（1）k取何值時(shí)？△ABC為等腰三角形．

（2）k取何值時(shí)？△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．

【分析】（1）先解方程可得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是直角三角形，且BC是斜邊，那么有（k+1）2+（k+2）2=52，易求k，結(jié)合實(shí)際意義可求k的值；

（2）由（1）得x1=k+1，x2=k+2，若△ABC是等腰三角形，則x1=BC或x2=BC，易求k=4或3．

【解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，

∴當(dāng)AB=AC時(shí)，△=b2﹣4ac=0，

∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0，

解得k不存在；

當(dāng)AB=BC時(shí)，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，

解得k=3或4；

（2）①如果AB=AC，△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0

4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8=1≠0，

不可能是等腰三角形．

②如果AB=5，或者AC=5

x1=5，52﹣（2k+3）×5+k2+3k+2=0

k2﹣7k+12=0

（k﹣4）（k﹣3）=0

解得：k=4或者k=3，

k=4時(shí)：

x2﹣11x+30=0

（x﹣5）（x﹣6）=0，

∴AB=5，AC=6，符合題意；

k=3時(shí)：

x2﹣9x+20=0

（x﹣4）（x﹣5）=0，

∴AB=4，AC=5，符合題意．

25．如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；直角三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)．

【分析】（1）觀察圖形，AE、CG的位置關(guān)系可能是垂直，下面著手證明．由于四邊形ABCD、DEFG都是正方形，易證得△ADE≌△CDG，則∠1=∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．

（2）題（1）的結(jié)論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由圖知∠AEB=∠CEH=90°﹣∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得證．

【解答】解：（1）答：AE⊥GC；

證明：延長(zhǎng)GC交AE于點(diǎn)H，

在正方形ABCD與正方形DEFG中，

AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，

DE=DG，

∴△ADE≌△CDG，

∴∠1=∠2；

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠AHG=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣90°=90°，

∴AE⊥GC．

（2）答：成立；

證明：延長(zhǎng)AE和GC相交于點(diǎn)H，

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，

∴∠1=∠2=90°﹣∠3；

∴△ADE≌△CDG，

∴∠5=∠4；

又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°﹣∠DCE=180°﹣90°=90°，

∴∠6=∠7，

又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，

∴∠CEH+∠7=90°，

∴∠EHC=90°，

∴AE⊥GC．

26．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC=OD，結(jié)合題意即可證得結(jié)論；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可作出判斷；

（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答．

【解答】（1）證明：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，

∴CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等邊三角形．

（2）解：當(dāng)α=150°時(shí)，△AOD是直角三角形．

理由是：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，

∴△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，

∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，

∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，

∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，

∴190°﹣α=α﹣60°，

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．

∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣=50°，

∴α﹣60°=50°，

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．

∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，

∠OAD==120°﹣，

∴190°﹣α=120°﹣，

解得α=140°．

綜上所述：當(dāng)α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．

2017年3月19日