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2018年衡陽中考數學沖刺試題

一、選擇題（本題共12小題，每題只有一個正確答案，共36分）

1．下列各數中，比﹣1小1的數為（　　）

A．0????????????? B．1????????????? C．﹣2????????????? D．2

2．下列等式成立的是（　　）

A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4????????????? B．2a2﹣3a=﹣a????????????? C．a6÷a3=a2????????????? D．（a2）3=a6

3．將數412000用科學記數法表示為（　　）

A．4.12×106????????????? B．4.12×105????????????? C．41.2×104????????????? D．0.412×106

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，若BD∥AE，∠DBC=20°，則∠CAE的度數是（　　）

A．40°????????????? B．60°????????????? C．70°????????????? D．80°

5．如圖，在一張正六邊形紙片中剪下兩個全等的直角三角形（陰影部分），拼成一個四邊形，若拼成的四邊形的面積為2，則紙片的剩余部分拼成的五邊形的面積為（　　）

A．5????????????? B．6????????????? C．8????????????? D．10

6．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C????????????? D．

7．如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形CDEF是正方形，點C，D在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上，點F在BC上，點B，E在反比例函數y=的圖象上，OA=2，OC=1，則正方形CDEF的面積為（　　）

A．4????????????? B．1????????????? C．3????????????? D．2

8．在一個不透明的盒子中裝有m個除顏色外完全相同的球，這m個球中只有3個紅球，從中隨機摸出一個小球，恰好是紅球的概率為，那么m的值是（　　）

A．12????????????? B．15????????????? C．18????????????? D．21

9．某商品原價為180元，連續兩次提價x%后售價為300元，下列所列方程正確的是（　　）

A．180（1+x%）=300????????????? B．180（1+x%）2=300????????????? C．180（1﹣x%）=300????????????? D．180（1﹣x%）2=300

10．如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

（1）以A圓心，AB長為半徑畫弧；

（2）以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；

（3）連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD．

①四邊形ABCD是中心對稱圖形；

②△ABC≌△ADC；

③AC⊥BD且BE=DE；

④BD平分∠ABC．

其中正確的是（　　）

A．①②????????????? B．②③????????????? C．①③????????????? D．③④

11．如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連接PD，以PD為邊，在PD右側按如圖方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是（　　）

A．8????????????? B．10????????????? C．3π????????????? D．5π

12．如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形．如圖②，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，EF為折痕，則∠ACE的正弦值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）

13．計算：|﹣5|=　　．

14．若分式有意義，則x的取值范圍是　　．

15．因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y=　　．

16．已知關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是　　．

17．如圖，某建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距38m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，則旗桿的高度約為　　m．（結果精確到0.1m，參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

18．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為　　．

三、解答題（共66分）

19．計算：﹣12+（﹣）﹣2﹣20160+．

20．先化簡，再求值：，其中x=3．

21．某社區從2011年開始，組織全民健身活動，結合社區條件，開展了廣場舞、太極拳、羽毛球和跑步四個活動項目，現將參加項目活動總人數進行統計，并繪制成每年參加總人數折線統計圖和2015年各活動項目參與人數的扇形統計圖，請你根據統計圖解答下列題

（1）2015年比2011年增加　　人；

（2）請根據扇形統計圖求出2015年參與跑步項目的人數；

（3）組織者預計2016年參與人員人數將比2015年的人數增加15%，各活動項目參與人數的百分比與2016年相同，請根據以上統計結果，估計2016年參加太極拳的人數．

22．某市對初二綜合素質測評中的審美與藝術進行考核，規定如下：考核綜合評價得分由測試成績（滿分100分）和平時成績（滿分100分）兩部分組成，其中測試成績占80%，平時成績占20%，并且當綜合評價得分大于或等于80分時，該生綜合評價為A等．

（1）孔明同學的測試成績和平時成績兩項得分之和為185分，而綜合評價得分為91分，則孔明同學測試成績和平時成績各得多少分？

（2）某同學測試成績為70分，他的綜合評價得分有可能達到A等嗎？為什么？

（3）如果一個同學綜合評價要達到A等，他的測試成績至少要多少分？

23．已知正方形ABCD中，BC=3，點E、F分別是CB、CD延長線上的點，DF=BE，連接AE、AF，過點A作AH⊥ED于H點．

（1）求證：△ADF≌△ABE；

（2）若BE=1，求tan∠AED的值．

24．已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，且△AEF為等邊三角形

（1）求證：△DFB是等腰三角形；

（2）若DA=AF，求證：CF⊥AB．

25．如圖，點A（1，0）、B（4，0）、M（5，3）．動點P從A點出發，沿x軸以每秒1個單位的速度向右移動，過點P的直線l：y=﹣x+b也隨之移動．設移動時間為t秒．

（1）當t=1時，求直線l的解析式．

（2）若直線l與線段BM有公共點，求t的取值范圍．

（3）當點M關于直線l的對稱點落在坐標軸上時，求t的值．

26．如圖，拋物線y=ax2+c經過點A（0，2）和點B（﹣1，0）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）將此拋物線平移，使其頂點坐標為（2，1），平移后的拋物線與x軸的兩個交點分別為點C，D（點C在點D的左邊），求點C，D的坐標；

（3）將此拋物線平移，設其頂點的縱坐標為m，平移后的拋物線與x軸兩個交點之間的距離為n，若1＜m＜3，直接寫出n的取值范圍．

2018年衡陽中考數學沖刺試題參考答案

一、選擇題（本題共12小題，每題只有一個正確答案，共36分）

1．下列各數中，比﹣1小1的數為（　　）

A．0????????????? B．1????????????? C．﹣2????????????? D．2

【考點】1A：有理數的減法．

【分析】根據有理數的減法，即可解答．

【解答】解：﹣1﹣1=﹣2，

故選：C．

2．下列等式成立的是（　　）

A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4????????????? B．2a2﹣3a=﹣a????????????? C．a6÷a3=a2????????????? D．（a2）3=a6

【考點】4F：平方差公式；35：合并同類項；47：冪的乘方與積的乘方；48：同底數冪的除法．

【分析】A、原式利用平方差公式化簡得到結果，即可作出判斷；

B、原式不能合并，錯誤；

C、原式利用同底數冪的除法法則計算得到結果，即可作出判斷；

D、原式利用冪的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷．

【解答】解：A、原式=a2﹣16，不成立；

B、原式不能合并，不成立；

C、原式=a3，不成立；

D、原式=a6，成立．

故選D．

3．將數412000用科學記數法表示為（　　）

A．4.12×106????????????? B．4.12×105????????????? C．41.2×104????????????? D．0.412×106

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：將412000用科學記數法表示為：4.12×105．

故選：B．

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，若BD∥AE，∠DBC=20°，則∠CAE的度數是（　　）

A．40°????????????? B．60°????????????? C．70°????????????? D．80°

【考點】JA：平行線的性質．

【分析】過點C作CF∥BD，根據兩直線平行，內錯角相等即可求解．

【解答】解：過點C作CF∥BD，則CF∥BD∥AE．

∴∠BCF=∠DBC=20°，

∵∠C=90°，

∴∠FCA=90﹣20=70°．

∵CF∥AE，

∴∠CAE=∠FCA=70°．

5．如圖，在一張正六邊形紙片中剪下兩個全等的直角三角形（陰影部分），拼成一個四邊形，若拼成的四邊形的面積為2，則紙片的剩余部分拼成的五邊形的面積為（　　）

A．5????????????? B．6????????????? C．8????????????? D．10

【考點】MM：正多邊形和圓．

【分析】由題意得出拼成的四邊形的面積是正六邊形面積的六分之一，求出正六邊形的面積，即可得出結果．

【解答】解：根據題意得：正六邊形的面積=6×2=12，

故紙片的剩余部分拼成的五邊形的面積=12﹣2=10；

故選：D．

6．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】C4：在數軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組．

【分析】首先求不等式組中每個不等式的解集，再利用解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到，找到不等式組的公共解集，再用數軸表示公共部分．

【解答】解：，

由①得：x＜3，

由②得：x≥﹣1，

∴不等式組的解集為：﹣1≤x＜3，

在數軸上表示為：

．

故選：A．

7．如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形CDEF是正方形，點C，D在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上，點F在BC上，點B，E在反比例函數y=的圖象上，OA=2，OC=1，則正方形CDEF的面積為（　　）

A．4????????????? B．1????????????? C．3????????????? D．2

【考點】G5：反比例函數系數k的幾何意義．

【分析】先確定B點坐標（2，1），根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到k=2，則反比例函數解析式為y=，設CD=t，則OD=1+t，所以E點坐標為（1+t，t），再根據反比例函數圖象上點的坐標特征得（1+t）?t=2，利用因式分解法可求出t的值．

【解答】解：∵OA=2，OC=1，

∴B點坐標為（2，1），

∴k=2×1=2，

∴反比例函數解析式為y=，

設CD=t，則OD=1+t，

∴E點坐標為（1+t，t），

∴（1+t）?t=2，

整理為t2+t﹣2=0，

解得t1=﹣2（舍去），t2=1，

∴正方形ADEF的邊長為1．

故選B．

8．在一個不透明的盒子中裝有m個除顏色外完全相同的球，這m個球中只有3個紅球，從中隨機摸出一個小球，恰好是紅球的概率為，那么m的值是（　　）

A．12????????????? B．15????????????? C．18????????????? D．21

【考點】X4：概率公式．

【分析】根據摸到紅球的概率為列出方程，求解即可．

【解答】解：由題意得=，解得m=15．

故選B．

9．某商品原價為180元，連續兩次提價x%后售價為300元，下列所列方程正確的是（　　）

A．180（1+x%）=300????????????? B．180（1+x%）2=300????????????? C．180（1﹣x%）=300????????????? D．180（1﹣x%）2=300

【考點】AC：由實際問題抽象出一元二次方程．

【分析】本題可先用x%表示第一次提價后商品的售價，再根據題意表示第二次提價后的售價，然后根據已知條件得到關于x%的方程．

【解答】解：當商品第一次提價x%時，其售價為180+180x%=180（1+x%）；

當商品第二次提價x%后，其售價為180（1+x%）+180（1+x%）x%=180（1+x%）2．

∴180（1+x%）2=300．

故選B．

10．如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

（1）以A圓心，AB長為半徑畫弧；

（2）以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；

（3）連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD．

①四邊形ABCD是中心對稱圖形；

②△ABC≌△ADC；

③AC⊥BD且BE=DE；

④BD平分∠ABC．

其中正確的是（　　）

A．①②????????????? B．②③????????????? C．①③????????????? D．③④

【考點】N3：作圖—復雜作圖；KD：全等三角形的判定與性質；R5：中心對稱圖形．

【分析】利用作法可判斷ACAC垂直平分BD，則可對①③進行判斷；利用“SSS”可對③進行判斷；通過說明∠ABD≠∠CBD可對④進行判斷．

【解答】解：由作法得AB=AD，CB=CD，則AC垂直平分BD，點B與點D關于點E對稱，而點A與點C不關于E對稱，所以①錯誤，③正確；

利用AB=AC，CD=CB，AC為公共邊，所以△ABC≌△ADC，所以②正確；

由于AD與BC不平行，則∠ADB≠∠CBD，而∠ADB=∠ABD，則∠ABD≠∠CBD，所以④錯誤．

故選B．

11．如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連接PD，以PD為邊，在PD右側按如圖方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是（　　）

A．8????????????? B．10????????????? C．3π????????????? D．5π

【考點】O4：軌跡．

【分析】連結DE，作FH⊥BC于H，如圖，根據等邊三角形的性質得∠B=60°，過D點作DE′⊥AB，則BE′=BD=2，則點E′與點E重合，所以∠BDE=30°，DE=BE=2，接著證明△DPE≌△FDH得到FH=DE=2，于是可判斷點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2，當點P在E點時，作等邊三角形DEF1，則DF1⊥BC，當點P在A點時，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，則△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F1F2=DQ=8，于是得到當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為8．

【解答】解：連結DE，作FH⊥BC于H，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=60°，

過D點作DE′⊥AB，則BE′=BD=2，

∴點E′與點E重合，

∴∠BDE=30°，DE=BE=2，

∵△DPF為等邊三角形，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠EDP+∠HDF=90°

∵∠HDF+∠DFH=90°，

∴∠EDP=∠DFH，

在△DPE和△FDH中，

，

∴△DPE≌△FDH，

∴FH=DE=2，

∴點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2，

當點P在E點時，作等邊三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，則DF1⊥BC，

當點P在A點時，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，則△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，

∴F1F2=DQ=8，

∴當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為8．

故選：A

12．如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形．如圖②，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，EF為折痕，則∠ACE的正弦值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）．

【分析】在Rt△ABC中，設AB=2a，已知∠ACB=90°，∠CAB=30°，即可求得AB、AC的值，由折疊的性質知：DE=CE，可設出DE、CE的長，然后表示出AE的長，進而可在Rt△AEC中，由勾股定理求得AE、CE的值，即可求∠ACE的正弦值．

【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，設AB=2a，

∴AC=a，BC=a；

∵△ABD是等邊三角形，

∴AD=AB=2a；

設DE=EC=x，則AE=2a﹣x；

在Rt△AEC中，由勾股定理，得：（2a﹣x）2+3a2=x2，解得x=；

∴AE=，EC=，

∴sin∠ACE==．

故選：B．

二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）

13．計算：|﹣5|=　5　．

【考點】15：絕對值．

【分析】根據絕對值定義去掉這個絕對值的符號即可．

【解答】解：|﹣5|=5．

故答案為：5

14．若分式有意義，則x的取值范圍是　x≠3　．

【考點】62：分式有意義的條件．

【分析】根據分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解．

【解答】解：由題意得，x﹣3≠0，

解得，x≠3．

故答案為：x≠3．

15．因式分解：﹣2x2y+12xy﹣18y=　﹣2y（x﹣3）2　．

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用．

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣6x+9）

=﹣2y（x﹣3）2．

故答案為：﹣2y（x﹣3）2．

16．已知關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是　a＜2，且a≠1　．

【考點】AA：根的判別式；A1：一元二次方程的定義．

【分析】本題是根的判別式的應用，因為關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有兩個不相等的實數根，所以△=b2﹣4ac＞0，從而可以列出關于a的不等式，求解即可，還要考慮二次項的系數不能為0．

【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有兩個不相等的實數根，

∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4×（a﹣1）×1＞0，

解這個不等式得，a＜2，

又∵二次項系數是（a﹣1），

∴a≠1．

故a的取值范圍是a＜2且a≠1．

17．如圖，某建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距38m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為50°，觀測旗桿底部B的仰角為45°，則旗桿的高度約為　7.2　m．（結果精確到0.1m，參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【考點】TA：解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．

【分析】根據題意分別在兩個直角三角形中求得AF和BF的長后求差即可得到旗桿的高度．

【解答】解：根據題意得：EF⊥AC，CD∥FE，

∴四邊形CDEF是矩形，

已知底部B的仰角為45°即∠BEF=45°，

∴∠EBF=45°，

∴CD=EF=FB=38，

在Rt△AEF中，

AF=EF?tan50°=38×1.19≈45.22

∴AB=AF﹣BF=45.22﹣38≈7.2，

∴旗桿的高約為7.2米．

故答案為：7.2．

18．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為　　．

【考點】M2：垂徑定理；J4：垂線段最短；KQ：勾股定理．

【分析】由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，由Rt△ADB為等腰直角三角形，則AD=BD=1，即此時圓的直徑為1，再根據圓周角定理可得到∠EOH=60°，則在Rt△EOH中，利用銳角三角函數可計算出EH=，然后根據垂徑定理即可得到EF=2EH=．

【解答】解：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，

如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，

在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，

∴AD=BD=1，即此時圓的直徑為1，

∵∠EOF=2∠BAC=120°，

而∠EOH=∠EOF，

∴∠EOH=60°，

在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=?sin60°=，

∵OH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2EH=，

即線段EF長度的最小值為．

故答案為．

三、解答題（共66分）

19．計算：﹣12+（﹣）﹣2﹣20160+．

【考點】2C：實數的運算；6E：零指數冪；6F：負整數指數冪．

【分析】直接利用負整數指數冪的性質以及零指數冪的性質和立方根的性質分別化簡各數，進而得出答案．

【解答】解：﹣12+（﹣）﹣2﹣20160+

=﹣1+4﹣1﹣3

=﹣1．

20．先化簡，再求值：，其中x=3．

【考點】6D：分式的化簡求值．

【分析】首先通分計算括號里面的，再計算乘法，把多項式分解因式后約分，得出化簡結果，再代入x的值計算即可．

【解答】解：

=?

=，

當x=3時，原式==．

21．某社區從2011年開始，組織全民健身活動，結合社區條件，開展了廣場舞、太極拳、羽毛球和跑步四個活動項目，現將參加項目活動總人數進行統計，并繪制成每年參加總人數折線統計圖和2015年各活動項目參與人數的扇形統計圖，請你根據統計圖解答下列題

（1）2015年比2011年增加　990　人；

（2）請根據扇形統計圖求出2015年參與跑步項目的人數；

（3）組織者預計2016年參與人員人數將比2015年的人數增加15%，各活動項目參與人數的百分比與2016年相同，請根據以上統計結果，估計2016年參加太極拳的人數．

【考點】VD：折線統計圖；V5：用樣本估計總體；VB：扇形統計圖．

【分析】（1）用2015年的人數﹣2011年的人數即可；

（2）用2015年總人數×參與跑步項目的人數所占的百分數即可；

（3）2015年總人數×（1+15%）×參加太極拳的人數所占的百分數即可．

【解答】解：（1）1600﹣610=990（人）；

故答案為：990人；

（2）1600×55%=880（人）；

答：2015年參與跑步項目的人數為880人；

（3）1600×（1+15%）×（1﹣55%﹣30%﹣5%）=184（人）；

答：估計2016年參加太極拳的人數為184人．

22．某市對初二綜合素質測評中的審美與藝術進行考核，規定如下：考核綜合評價得分由測試成績（滿分100分）和平時成績（滿分100分）兩部分組成，其中測試成績占80%，平時成績占20%，并且當綜合評價得分大于或等于80分時，該生綜合評價為A等．

（1）孔明同學的測試成績和平時成績兩項得分之和為185分，而綜合評價得分為91分，則孔明同學測試成績和平時成績各得多少分？

（2）某同學測試成績為70分，他的綜合評價得分有可能達到A等嗎？為什么？

（3）如果一個同學綜合評價要達到A等，他的測試成績至少要多少分？

【考點】C9：一元一次不等式的應用；9A：二元一次方程組的應用．

【分析】（1）分別利用孔明同學的測試成績和平時成績兩項得分之和為185分，而綜合評價得分為91分，分別得出等式求出答案；

（2）利用測試成績占80%，平時成績占20%，進而得出答案；

（3）首先假設平時成績為滿分，進而得出不等式，求出測試成績的最小值．

【解答】解：（1）設孔明同學測試成績為x分，平時成績為y分，依題意得：

解之得：

答：孔明同學測試成績為90分，平時成績為95分；

（2）由題意可得：80﹣70×80%=24，

24÷20%=120＞100，故不可能．

（3）設平時成績為滿分，即100分，綜合成績為100×20%=20，

設測試成績為a分，根據題意可得：20+80%a≥80，

解得：a≥75

答：他的測試成績應該至少為75分．

23．已知正方形ABCD中，BC=3，點E、F分別是CB、CD延長線上的點，DF=BE，連接AE、AF，過點A作AH⊥ED于H點．

（1）求證：△ADF≌△ABE；

（2）若BE=1，求tan∠AED的值．

【考點】LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質．

【分析】（1）根據輔助線的性質得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由鄰補角的定義得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到結論；

（2）過點A作AH⊥DE于點H，根據勾股定理得到AE=，ED==5，根據三角形的面積S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，求得AH=1.8，由三角函數的定義即可得到結論．

【解答】解：（1）正方形ABCD中，

∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，

∴∠ADF=∠ABE=90°，

在△ADF與△ABE中，

，

∴△ADF≌△ABE；

（2）過點A作AH⊥DE于點H，

在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，

∵BE=1，

∴AE=，ED==5，

∵S△AED=AD×BA=，

S△ADE=ED×AH=，

解出AH=1.8，

在Rt△AHE中，EH=2.6，

∴tan∠AED=．

24．已知AB是半徑為1的圓O直徑，C是圓上一點，D是BC延長線上一點，過點D的直線交AC于E點，且△AEF為等邊三角形

（1）求證：△DFB是等腰三角形；

（2）若DA=AF，求證：CF⊥AB．

【考點】M5：圓周角定理；KJ：等腰三角形的判定與性質；KO：含30度角的直角三角形．

【分析】（1）由AB是⊙O直徑，得到∠ACB=90°，由于△AEF為等邊三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根據三角形的外角的性質即可得到結論；

（2）過點A作AM⊥DF于點M，設AF=2a，根據等邊三角形的性質得到FM=EM=a，AM=a，在根據已知條件得到AB=AF+BF=8a，根據直角三角形的性質得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根據三角形的內角和即可得到結論．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∵△AEF為等邊三角形，

∴∠CAB=∠EFA=60°

∴∠B=30°，

∵∠EFA=∠B+∠FDB，

∴∠B=∠FDB=30°，

∴△DFB是等腰三角形；

（2）過點A作AM⊥DF于點M，設AF=2a，

∵△AEF是等邊三角形，∴FM=EM=a，AM=a，

在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，

∴DM=5a，∴DF=BF=6a，

∴AB=AF+BF=8a，

在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，

∵AE=EF=AF=2a，

∴CE=AC﹣AE=2a，

∴∠ECF=∠EFC，

∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，

∴CF⊥AB．

25．如圖，點A（1，0）、B（4，0）、M（5，3）．動點P從A點出發，沿x軸以每秒1個單位的速度向右移動，過點P的直線l：y=﹣x+b也隨之移動．設移動時間為t秒．

（1）當t=1時，求直線l的解析式．

（2）若直線l與線段BM有公共點，求t的取值范圍．

（3）當點M關于直線l的對稱點落在坐標軸上時，求t的值．

【考點】FI：一次函數綜合題．

【分析】（1）根據點P的運動用t表示出點P的坐標，代入t=1即可得出點P的坐標，根據點P的坐標利用待定系數法即可求出此時直線l的解析式；

（2）分別找出直線l過點B、M時的b值，再根據一次函數圖象上點的坐標特征找出t值，由此即可得出結論；

（3）分對稱點落在x軸和y軸上考慮．根據直線l的解析式可設出直線MC的解析式，根據點M的坐標利用待定系數法即可求出直線MC的解析式，則直線MC與x、y軸的交點將是點M關于直線l的對稱點，找出兩直線的交點坐標，再根據一次函數圖象上點的坐標特征求出t值即可得出結論．

【解答】解：（1）直線y=﹣x+b交x軸于點P（1+t，0）（b＞0，t≥0）．

當t=1時，1+t=2，

∴P（2，0），

∴﹣2+b=0，

解得b=2，

故當t=1時，直線l的解析式為y=﹣x+2．

（2）當直線y=﹣x+b過點B（4，0）時，有1+t=4，

∴t=3；

當直線y=﹣x+b過點M（5，3）時，有3=﹣5+b，

解得：b=8，

∴0=﹣（1+t）+8，

解得t=7．

故若l與線段BM有公共點，t的取值范圍是：3≤t≤7．

（3）點M關于直線l的對稱點落在對稱軸上分兩種情況（如圖所示）：

①當點M的對稱點落在y軸上時，過點M作MC⊥直線l，交y軸于點C，交直線l于點D，則點C為點M在坐標軸上的對稱點．

設直線MC的解析式為y=x+m，則：3=5+m，解得：m=﹣2，

∴直線MC的解析式為y=x﹣2．

當x=0時，y=0﹣2=﹣2，

∴C點坐標為（0，﹣2）．

∵（0+5）÷2=2.5，（3﹣2）÷2=0.5，

∴D點坐標為（2.5，0.5），

當直線y=﹣x+b過點D（2.5，0.5）時，有0.5=﹣2.5+b，解得：b=3，

即0=﹣（1+t）+3，解得t=2．

∴t為2時，點M關于l的對稱點落在y軸上．

②當點M的對稱點落在x軸上時，設直線MC分別與x軸、直線l交與點E，F．

當y=0時，有x﹣2=0，解得：x=2，

∴點E（2，0），點F（3.5，1.5）．

∴1.5=﹣3.5+b，解得：b=5，

∴t=b﹣1=4，

∴t=4時點M關于l的對稱點落在x軸上．

綜上，t=2或4時，M的對稱點在坐標軸上．

26．如圖，拋物線y=ax2+c經過點A（0，2）和點B（﹣1，0）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）將此拋物線平移，使其頂點坐標為（2，1），平移后的拋物線與x軸的兩個交點分別為點C，D（點C在點D的左邊），求點C，D的坐標；

（3）將此拋物線平移，設其頂點的縱坐標為m，平移后的拋物線與x軸兩個交點之間的距離為n，若1＜m＜3，直接寫出n的取值范圍．

【考點】H6：二次函數圖象與幾何變換；H8：待定系數法求二次函數解析式．

【分析】（1）把點A、B的坐標分別代入函數解析式，列出關于a、c的方程組，通過解方程求得它們的值；

（2）根據平移的規律寫出平移后拋物線的解析式，然后令y=0，則解關于x的方程，即可求得點C、D的橫坐標；

（3）根據根與系數的關系來求n的取值范圍；

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+c經過點A（0，2）和點B（﹣1，0）．

∴

解得：

∴此拋物線的解析式為y=﹣2x2+2；

（2）∵此拋物線平移后頂點坐標為（2，1），

∴拋物線的解析式為y=﹣2（x﹣2）2+1

令y=0，即﹣2（x﹣2）2+1=0

解得? x1=2+，x2=2﹣．

∵點C在點D的左邊

∴C（ 2﹣，0），D（2+，0）‘

（3）＜n＜．

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