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2017年黔東南州中考數學試題

一、數學試題選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

1．|﹣2|的值是（）

A．﹣2????????????? B．2????????????? C．﹣????????????? D．

2．如圖，∠ACD=120°，∠B=20°，則∠A的度數是（）

A．120°????????????? B．90°????????????? C．100°????????????? D．30°

3．下列運算結果正確的是（）

A．3a﹣a=2????????????? B．（a﹣b）2=a2﹣b2

C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b????????????? D．a（a+b）=a2+b

4．如圖所示，所給的三視圖表示的幾何體是（）

A．圓錐????????????? B．正三棱錐????????????? C．正四棱錐????????????? D．正三棱柱

5．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長為（）

A．2????????????? B．﹣1????????????? C．????????????? D．4

6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩根分別為x1，x2，則+的值為（）

A．2????????????? B．﹣1????????????? C．????????????? D．﹣2

7．分式方程=1﹣的根為（）

A．﹣1或3????????????? B．﹣1????????????? C．3????????????? D．1或﹣3

8．如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，則∠DOC的度數為（）

A．60°????????????? B．67.5°????????????? C．75°????????????? D．54°

9．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，給出下列結論：

①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正確的個數有（）

A．1個????????????? B．2個????????????? C．3個????????????? D．4個

10．我國古代數學的許多創新和發展都位居世界前列，如南宋數學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖的三角形解釋二項和（a+b）n的展開式的各項系數，此三角形稱為“楊輝三角”．

根據“楊輝三角”請計算（a+b）20的展開式中第三項的系數為（）

A．2017????????????? B．2016????????????? C．191????????????? D．190

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11．在平面直角坐標系中有一點A（﹣2，1），將點A先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，則平移后點A的坐標為　?? 　．

12．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，已知FB=CE，AC∥DF，請你添加一個適當的條件　?? 　使得△ABC≌△DEF．

13．在實數范圍內因式分解：x5﹣4x=　?? 　．

14．黔東南下司“藍每谷”以盛產“優質藍莓”而吸引來自四面八方的游客，某果農今年的藍莓得到了豐收，為了了解自家藍莓的質量，隨機從種植園中抽取適量藍莓進行檢測，發現在多次重復的抽取檢測中“優質藍莓”出現的頻率逐漸穩定在0.7，該果農今年的藍莓總產量約為800kg，由此估計該果農今年的“優質藍莓”產量約是　?? 　kg．

15．如圖，已知點A，B分別在反比例函數y1=﹣和y2=的圖象上，若點A是線段OB的中點，則k的值為　?? 　．

16．把多塊大小不同的30°直角三角板如圖所示，擺放在平面直角坐標系中，第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點A的坐標為（0，1），∠ABO=30°；第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點B1；第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點B2；第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2C垂直且交y軸于點B3；…按此規律繼續下去，則點B2017的坐標為　?? 　．

三、解答題（本大題共8小題，共86分）

17．計算：﹣1﹣2+|﹣|+（π﹣3.14）0﹣tan60°+．

18．先化簡，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x=+1．

19．解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．

20．某體育老師測量了自己任教的甲、乙兩班男生的身高，并制作了如下不完整的統計圖表．

根據以上統計圖表完成下列問題：

（1）統計表中m=　?? 　，n=　?? 　，并將頻數分布直方圖補充完整；

（2）在這次測量中兩班男生身高的中位數在：　?? 　范圍內；

（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙兩班各有2人，現從4人中隨機推選2人補充到學校國旗護衛隊中，請用列表或畫樹狀圖的方法求出這兩人都來自相同班級的概率．

21．如圖，已知直線PT與⊙O相切于點T，直線PO與⊙O相交于A，B兩點．

（1）求證：PT2=PA?PB；

（2）若PT=TB=，求圖中陰影部分的面積．

22．如圖，某校教學樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角α為60°，根據有關部門的規定，∠α≤39°時，才能避免滑坡危險，學校為了消除安全隱患，決定對斜坡CD進行改造，在保持坡腳C不動的情況下，學校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學樓的安全？（結果取整數）

（參考數據：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）

23．某校為了在九月份迎接高一年級的新生，決定將學生公寓樓重新裝修，現學校招用了甲、乙兩個工程隊．若兩隊合作，8天就可以完成該項工程；若由甲隊先單獨做3天后，剩余部分由乙隊單獨做需要18天才能完成．

（1）求甲、乙兩隊工作效率分別是多少？

（2）甲隊每天工資3000元，乙隊每天工資1400元，學校要求在12天內將學生公寓樓裝修完成，若完成該工程甲隊工作m天，乙隊工作n天，求學校需支付的總工資w（元）與甲隊工作天數m（天）的函數關系式，并求出m的取值范圍及w的最小值．

24．如圖，⊙M的圓心M（﹣1，2），⊙M經過坐標原點O，與y軸交于點A，經過點A的一條直線l解析式為：y=﹣x+4與x軸交于點B，以M為頂點的拋物線經過x軸上點D（2，0）和點C（﹣4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：直線l是⊙M的切線；

（3）點P為拋物線上一動點，且PE與直線l垂直，垂足為E，PF∥y軸，交直線l于點F，是否存在這樣的點P，使△PEF的面積最小？若存在，請求出此時點P的坐標及△PEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．

2017年黔東南中考數學試題參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

1．|﹣2|的值是（）

A．﹣2????????????? B．2????????????? C．﹣????????????? D．

【考點】15：絕對值．

【分析】根據絕對值的性質作答．

【解答】解：∵﹣2＜0，

∴|﹣2|=2．

故選B．

2．如圖，∠ACD=120°，∠B=20°，則∠A的度數是（）

A．120°????????????? B．90°????????????? C．100°????????????? D．30°

【考點】K8：三角形的外角性質．

【分析】根據三角形的外角的性質計算即可．

【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B

=120°﹣20°

=100°，

故選：C．

3．下列運算結果正確的是（）

A．3a﹣a=2????????????? B．（a﹣b）2=a2﹣b2

C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b????????????? D．a（a+b）=a2+b

【考點】4I：整式的混合運算．

【分析】各項計算得到結果，即可作出判斷．

【解答】解：A、原式=2a，不符合題意；

B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合題意；

C、原式=﹣3b，符合題意；

D、原式=a2+ab，不符合題意，

故選C

4．如圖所示，所給的三視圖表示的幾何體是（）

A．圓錐????????????? B．正三棱錐????????????? C．正四棱錐????????????? D．正三棱柱

【考點】U3：由三視圖判斷幾何體．

【分析】由左視圖和俯視圖可得此幾何體為柱體，根據主視圖是三角形可判斷出此幾何體為正三棱柱．

【解答】解：∵左視圖和俯視圖都是長方形，

∴此幾何體為柱體，

∵主視圖是一個三角形，

∴此幾何體為正三棱柱．

故選：D．

5．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長為（）

A．2????????????? B．﹣1????????????? C．????????????? D．4

【考點】M5：圓周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂徑定理．

【分析】根據垂徑定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根據圓周角定理得到∠COE=30°，根據直角三角形的性質得到CE=OC=1，最后由垂徑定理得出結論．

【解答】解：∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，∠CEO=90°，

∵∠A=15°，

∴∠COE=30°，

∵OC=2，

∴CE=OC=1，

∴CD=2OE=2，

故選A．

6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩根分別為x1，x2，則+的值為（）

A．2????????????? B．﹣1????????????? C．????????????? D．﹣2

【考點】AB：根與系數的關系．

【分析】根據根與系數的關系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整體代入的方法計算

【解答】解：根據題意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，

所以+===﹣2．

故選D．

7．分式方程=1﹣的根為（）

A．﹣1或3????????????? B．﹣1????????????? C．3????????????? D．1或﹣3

【考點】B3：解分式方程．

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，

解得：x=﹣1或x=3，

經檢驗x=﹣1是增根，分式方程的根為x=3，

故選C

8．如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，則∠DOC的度數為（）

A．60°????????????? B．67.5°????????????? C．75°????????????? D．54°

【考點】LE：正方形的性質．

【分析】如圖，連接DF、BF．如圖，連接DF、BF．首先證明∠FDB=∠FAB=30°，再證明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解決問題．

【解答】解：如圖，連接DF、BF．

∵FE⊥AB，AE=EB，

∴FA=FB，

∵AF=2AE，

∴AF=AB=FB，

∴△AFB是等邊三角形，

∵AF=AD=AB，

∴點A是△DBF的外接圓的圓心，

∴∠FDB=∠FAB=30°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，

∴∠FAD=∠FBC，

∴△FAD≌△FBC，

∴∠ADF=∠FCB=15°，

∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．

故選A．

9．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，給出下列結論：

①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正確的個數有（）

A．1個????????????? B．2個????????????? C．3個????????????? D．4個

【考點】H4：二次函數圖象與系數的關系．

【分析】①利用拋物線與x軸有2個交點和判別式的意義對①進行判斷；

②由拋物線開口方向得到a＞0，由拋物線對稱軸位置確定b＞0，由拋物線與y軸交點位置得到c＞0，則可作判斷；

③利用x=﹣1時a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判斷；

④利用拋物線的對稱性得到x=﹣2和x=0時的函數值相等，即x=﹣2時，y＞0，則可進行判斷．

【解答】解：①∵拋物線與x軸有2個交點，

∴△=b2﹣4ac＞0，

所以①錯誤；

②∵拋物線開口向上，

∴a＞0，

∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，

∴a、b同號，

∴b＞0，

∵拋物線與y軸交點在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＞0，

所以②正確；

③∵x=﹣1時，y＜0，

即a﹣b+c＜0，

∵對稱軸為直線x=﹣1，

∴﹣=﹣1，

∴b=2a，

∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，

所以③正確；

④∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

∴x=﹣2和x=0時的函數值相等，即x=﹣2時，y＞0，

∴4a﹣2b+c＞0，

所以④正確．

所以本題正確的有：②③④，三個，

故選C．

10．我國古代數學的許多創新和發展都位居世界前列，如南宋數學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖的三角形解釋二項和（a+b）n的展開式的各項系數，此三角形稱為“楊輝三角”．

根據“楊輝三角”請計算（a+b）20的展開式中第三項的系數為（）

A．2017????????????? B．2016????????????? C．191????????????? D．190

【考點】4C：完全平方公式．

【分析】根據圖形中的規律即可求出（a+b）20的展開式中第三項的系數；

【解答】解：找規律發現（a+b）3的第三項系數為3=1+2；

（a+b）4的第三項系數為6=1+2+3；

（a+b）5的第三項系數為10=1+2+3+4；

不難發現（a+b）n的第三項系數為1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），

∴（a+b）20第三項系數為1+2+3+…+20=190，

故選 D．

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11．在平面直角坐標系中有一點A（﹣2，1），將點A先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，則平移后點A的坐標為　（1，﹣1）　．

【考點】Q3：坐標與圖形變化﹣平移．

【分析】根據坐標平移規律即可求出答案．

【解答】解：由題意可知：A的橫坐標+3，縱坐標﹣2，即可求出平移后的坐標，

∴平移后A的坐標為（1，﹣1）

故答案為：（1，﹣1）

12．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，已知FB=CE，AC∥DF，請你添加一個適當的條件　∠A=∠D　使得△ABC≌△DEF．

【考點】KB：全等三角形的判定．

【分析】根據全等三角形的判定定理填空．

【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：

∵FB=CE，

∴BC=EF．

又∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠DFE．

∴在△ABC與△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（AAS）．

故答案是：∠A=∠D．

13．在實數范圍內因式分解：x5﹣4x=　x（x2+3）（x+）（x﹣）　．

【考點】58：實數范圍內分解因式．

【分析】先提取公因式x，再把4寫成22的形式，然后利用平方差公式繼續分解因式．

【解答】解：原式=x（x4﹣22），

=x（x2+2）（x2﹣2）

=x（x2+2）（x+）（x﹣），

故答案是：x（x2+3）（x+）（x﹣）．

14．黔東南下司“藍每谷”以盛產“優質藍莓”而吸引來自四面八方的游客，某果農今年的藍莓得到了豐收，為了了解自家藍莓的質量，隨機從種植園中抽取適量藍莓進行檢測，發現在多次重復的抽取檢測中“優質藍莓”出現的頻率逐漸穩定在0.7，該果農今年的藍莓總產量約為800kg，由此估計該果農今年的“優質藍莓”產量約是　560　kg．

【考點】X8：利用頻率估計概率．

【分析】根據題意可以估計該果農今年的“優質藍莓”產量．

【解答】解：由題意可得，

該果農今年的“優質藍莓”產量約是：800×0.7=560kg，

故答案為：560．

15．如圖，已知點A，B分別在反比例函數y1=﹣和y2=的圖象上，若點A是線段OB的中點，則k的值為　﹣8　．

【考點】G6：反比例函數圖象上點的坐標特征．

【分析】設A（a，b），則B（2a，2b），將點A、B分別代入所在的雙曲線方程進行解答．

【解答】解：設A（a，b），則B（2a，2b），

∵點A在反比例函數y1=﹣的圖象上，

∴ab=﹣2；

∵B點在反比例函數y2=的圖象上，

∴k=2a?2b=4ab=﹣8．

故答案是：﹣8．

16．把多塊大小不同的30°直角三角板如圖所示，擺放在平面直角坐標系中，第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點A的坐標為（0，1），∠ABO=30°；第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點B1；第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點B2；第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2C垂直且交y軸于點B3；…按此規律繼續下去，則點B2017的坐標為　（0，﹣）　．

【考點】D2：規律型：點的坐標．

【分析】根據題意和圖象可以發現題目中的變化規律，從而可以求得點B2017的坐標．

【解答】解：由題意可得，

OB=OA?tan60°=1×=，

OB1=OB?tan60°==（）2=3，

OB2=OB1?tan60°=（）3，

…

∵2017÷4=506…1，

∴點B2017的坐標為（0，﹣），

故答案為：（0，﹣）．

三、解答題（本大題共8小題，共86分）

17．計算：﹣1﹣2+|﹣|+（π﹣3.14）0﹣tan60°+．

【考點】2C：實數的運算；6E：零指數冪；6F：負整數指數冪；T5：特殊角的三角函數值．

【分析】原式利用零指數冪、負整數指數冪法則，特殊角的三角函數值，以及絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果．

【解答】解：原式=1+（）+1﹣

=2

18．先化簡，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x=+1．

【考點】6D：分式的化簡求值．

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．

【解答】解：原式=?=?=x﹣1，

當x=+1時，原式=．

19．解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．

【考點】CB：解一元一次不等式組；C4：在數軸上表示不等式的解集．

【分析】先解不等式組中的每一個不等式，再根據大大取較大，小小取較小，大小小大取中間，大大小小無解，把它們的解集用一條不等式表示出來．

【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，

由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，

所以﹣7＜x≤1．

在數軸上表示為：

20．某體育老師測量了自己任教的甲、乙兩班男生的身高，并制作了如下不完整的統計圖表．

根據以上統計圖表完成下列問題：

（1）統計表中m=　14　，n=　0.26　，并將頻數分布直方圖補充完整；

（2）在這次測量中兩班男生身高的中位數在：　161≤x＜164　范圍內；

（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙兩班各有2人，現從4人中隨機推選2人補充到學校國旗護衛隊中，請用列表或畫樹狀圖的方法求出這兩人都來自相同班級的概率．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法；V7：頻數（率）分布表；V8：頻數（率）分布直方圖；W4：中位數．

【分析】（1）設總人數為x人，則有=0.06，解得x=50，再根據頻率公式求出m，n．畫出直方圖即可；

（2）根據中位數的定義即可判斷；

（3）畫出樹狀圖即可解決問題；

【解答】解：（1）設總人數為x人，則有=0.06，解得x=50，

∴m=50×0.28=14，n==0.26．

故答案為14，0.26．

頻數分布直方圖：

（2）觀察表格可知中位數在 161≤x＜164內，

故答案為 161≤x＜164．

（3）將甲、乙兩班的學生分別記為甲1、甲2、乙1、乙2樹狀圖如圖所示：

所以P（兩學生來自同一所班級）==．

21．如圖，已知直線PT與⊙O相切于點T，直線PO與⊙O相交于A，B兩點．

（1）求證：PT2=PA?PB；

（2）若PT=TB=，求圖中陰影部分的面積．

【考點】S9：相似三角形的判定與性質；MC：切線的性質；MO：扇形面積的計算．

【分析】（1）連接OT，只要證明△PTA∽△PBT，可得=，由此即可解決問題；

（2）首先證明△AOT是等邊三角形，根據S陰=S扇形OAT﹣S△AOT計算即可；

【解答】（1）證明：連接OT．

∵PT是⊙O的切線，

∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，

∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ATB=90°，

∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，

∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，

∴△PTA∽△PBT，

∴=，

∴PT2=PA?PB．

（2）∵TP=TB=，

∴∠P=∠B=∠PTA，

∵∠TAB=∠P+∠PTA，

∴∠TAB=2∠B，

∵∠TAB+∠B=90°，

∴∠TAB=60°，∠B=30°，

∴tanB==，

∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°，

∴△AOT是等邊三角形，

∴S陰=S扇形OAT﹣S△AOT=﹣?12=﹣．

22．如圖，某校教學樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角α為60°，根據有關部門的規定，∠α≤39°時，才能避免滑坡危險，學校為了消除安全隱患，決定對斜坡CD進行改造，在保持坡腳C不動的情況下，學校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學樓的安全？（結果取整數）

（參考數據：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）

【考點】T9：解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．

【分析】假設點D移到D′的位置時，恰好∠α=39°，過點D作DE⊥AC于點E，作D′E′⊥AC于點E′，根據銳角三角函數的定義求出DE、CE、CE′的長，進而可得出結論．

【解答】解：假設點D移到D′的位置時，恰好∠α=39°，過點D作DE⊥AC于點E，作D′E′⊥AC于點E′，

∵CD=12米，∠DCE=60°，

∴DE=CD?sin60°=12×=6米，CE=CD?cos60°=12×=6米．

∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，

∴四邊形DEE′D′是矩形，

∴DE=D′E′=6米．

∵∠D′CE′=39°，

∴CE′=≈≈12.8，

∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．

答：學校至少要把坡頂D向后水平移動6.8米才能保證教學樓的安全．

23．某校為了在九月份迎接高一年級的新生，決定將學生公寓樓重新裝修，現學校招用了甲、乙兩個工程隊．若兩隊合作，8天就可以完成該項工程；若由甲隊先單獨做3天后，剩余部分由乙隊單獨做需要18天才能完成．

（1）求甲、乙兩隊工作效率分別是多少？

（2）甲隊每天工資3000元，乙隊每天工資1400元，學校要求在12天內將學生公寓樓裝修完成，若完成該工程甲隊工作m天，乙隊工作n天，求學校需支付的總工資w（元）與甲隊工作天數m（天）的函數關系式，并求出m的取值范圍及w的最小值．

【考點】FH：一次函數的應用；B7：分式方程的應用．

【分析】（1）設甲隊單獨完成需要x天，乙隊單獨完成需要y天．列出分式方程組即可解決問題；

（2）設乙先工作x天，再與甲合作正好如期完成．則+=1，解得x=6．由此可得m的范圍，因為乙隊每天的費用小于甲隊每天的費用，所以讓乙先工作6天，再與甲合作6天正好如期完成，此時費用最小；

【解答】解：（1）設甲隊單獨完成需要x天，乙隊單獨完成需要y天．

由題意，解得，

經檢驗是分式方程組的解，

∴甲、乙兩隊工作效率分別是和．

（2）設乙先工作x天，再與甲合作正好如期完成．

則+=1，解得x=6．

∴甲工作6天，

∵甲12天完成任務，

∴6≤m≤12．

∵乙隊每天的費用小于甲隊每天的費用，

∴讓乙先工作6天，再與甲合作6天正好如期完成，此時費用最小，

∴w的最小值為12×1400+6×3000=34800元．

24．如圖，⊙M的圓心M（﹣1，2），⊙M經過坐標原點O，與y軸交于點A，經過點A的一條直線l解析式為：y=﹣x+4與x軸交于點B，以M為頂點的拋物線經過x軸上點D（2，0）和點C（﹣4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：直線l是⊙M的切線；

（3）點P為拋物線上一動點，且PE與直線l垂直，垂足為E，PF∥y軸，交直線l于點F，是否存在這樣的點P，使△PEF的面積最小？若存在，請求出此時點P的坐標及△PEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+4），將點M的坐標代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）連接AM，過點M作MG⊥AD，垂足為G．先求得點A和點B的坐標，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的長，然后利用銳角三角函數的定義可證明∠MAG=∠ABD，故此可證明AM⊥AB；

（3））先證明∠FPE=∠FBD．則PF：PE：EF=：2：1．則△PEF的面積=PF2，設點P的坐標為（x，﹣x2﹣x+），則F（x，﹣x+4）．然后可得到PF與x的函數關系式，最后利用二次函數的性質求解即可．

【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+4），將點M的坐標代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+．

（2）連接AM，過點M作MG⊥AD，垂足為G．

把x=0代入y=﹣x+4得：y=4，

∴A（0，4）．

將y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8，

∴B（8，0）．

∴OA=4，OB=8．

∵M（﹣1，2），A（0，4），

∴MG=1，AG=2．

∴tan∠MAG=tan∠ABO=．

∴∠MAG=∠ABO．

∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．

∴l是⊙M的切線．

（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，

∴∠FPE=∠FBD．

∴tan∠FPE=．

∴PF：PE：EF=：2：1．

∴△PEF的面積=PE?EF=×PF?PF=PF2．

∴當PF最小時，△PEF的面積最小．

設點P的坐標為（x，﹣x2﹣x+），則F（x，﹣x+4）．

∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=（x﹣）2+．

∴當x=時，PF有最小值，PF的最小值為．

∴P（，）．

∴△PEF的面積的最小值為=×（）2=．

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