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2018年昆明中考數學沖刺試題

(全卷共三個大題，共23個小題，共4頁；滿分120分，考試時間120分鐘)

一、數學沖刺試題填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

1．2017年我國約有9 400 000人參加高考，將9 400 000用科學記數法表示為__9.4×106__．

2．若代數式有意義，則x的取值范圍是__x≥1__．

3．一個n邊形的內角和是720°，則n＝__6__．

4．如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于M，N兩點，將一個含有45°角的直角三角尺按如圖所示的方式擺放，若∠EMB＝75°，則∠PNM＝__30__°.

5．如圖，直線y＝x＋4與雙曲線y＝(k≠0)相交于A(－1，a)，B兩點，在y軸上找一點P，當PA＋PB的值最小時，點P的坐標為____．

(第4題圖)

　　(第5題圖)

　　(第6題圖)

6．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如圖所示放置，點A1，A2，A3…在直線y＝x＋1上，點C1，C2，C3…在x軸上，則An的坐標是__(2n－1－1，2n－1)__．

二、填空題(本大題共8小題，每小題只有一個正確答案，每小題4分，共32分)

7．－|－2|的倒數是(　C　)

A．2? B.? C．－? D．－2

8．下列運算正確的是(　D　)

A．(－2a3)2＝－4a6? B.＝±3

C．m2·m3＝m6? D．x3＋2x3＝3x3

9．下列幾何體是由4個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是(　C　)

　　　A　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D

10．某校九年級(1)班全體學生2017年初中畢業體育考試的成績統計如表：

根據表中的信息判斷，下列結論中錯誤的是(　D　)

A．該班一共有40名同學

B．該班學生這次考試成績的眾數是45分

C．該班學生這次考試成績的中位數是45分

D．該班學生這次考試成績的平均數是45分

11．已知點M(1－2m，m－1)在第四象限，則m的取值范圍在數軸上表示正確的是(　B　)

　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　B

　　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　　D

12．點A(a，4)，點B(3，b)關于x軸對稱，則(a＋b)2 017的值為(　B　)

A．0? B．－1? C．1? D．72 017

13．如圖，將一塊正方形空地劃出部分區域進行綠化，原空地一邊減少了2 m，另一邊減少了3 m，剩余一塊面積為20 m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長是(　A　)

A．7 m? B．8 m? C．9 m? D．10 m

(第13題圖)

　　　　　(第14題圖)

14．如圖，正方形ABCD中，點E是AD邊中點，BD，CE交于點H，BE，AH交于點G，則下列結論：①AG⊥BE；②BG＝4GE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD.

其中正確的個數是(　D　)

A．1? B．2? C．3? D．4

三、解答題(本大題共9小題，共70分)

15．(5分)先化簡，再求值：÷，其中x＝－1.

解：原式＝÷

＝÷

＝×

＝，

把x＝－1代入，原式＝＝＝＝.

16．(6分)如圖，已知點B，E，C，F在一條直線上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D.

(1)求證：AC∥DE；

(2)若BF＝13，EC＝5，求BC的長．

解：(1)在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE(SAS)，

∴∠ACE＝∠DEF，

∴AC∥DE；

(2)∵△ABC≌△DFE，

∴BC＝EF，

∴CB－EC＝EF－EC，

∴EB＝CF.

∵BF＝13，EC＝5，

∴EB＝＝4，

∴CB＝4＋5＝9.

17．(5分)如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每個方格的邊長均為1個單位長度)．

(1)將△OAB向右平移1個單位長度后得到△O1A1B1，請畫出△O1A1B1；

(2)請以O為位似中心畫出△O1A1B1的位似圖形，使它與△O1A1B1的相似比為2∶1；

(3)點P(a，b)為△OAB內一點，請直接寫出位似變換后的對應點P′的坐標為________．

解：(1)如圖，△O1A1B1即為所求作三角形；

(2)如圖，△O2A2B2即為所求作三角形；

(3)(2a＋2，2b)．

18．(8分)某學校為了增強學生體質，決定開設以下體育課外活動項目：A籃球、B乒乓球、C跳繩、D踢毽子，為了解學生最喜歡哪一種活動項目，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖，請回答下列問題：

(1)這次被調查的學生共有________人；

(2)請你將條形統計圖補充完整；

(3)在平時的乒乓球項目訓練中，甲、乙、丙、丁四人表現優秀，現決定從這四名同學中任選兩名參加乒乓球比賽，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率．(用樹狀圖或列表法解答)

　　　　　　　圖①　　　　　　　　　　　圖②

解：(1)200；

(2)C項目對應人數為：200－20－80－40＝60(人)；補圖如圖；

(3)列表如下：

∵共有12種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學的有2種，

∴P(選中甲、乙)＝＝.

19．(7分)如圖，已知點E，F分別是?ABCD的邊BC，AD上的中點，且∠BAC＝90°.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若∠B＝30°，BC＝10，求菱形AECF面積．

解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC.

∵E，F分別是BC，AD的中點，∴AF＝AD＝BC＝EC.

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點E是BC邊的中點，

∴AE＝BC＝CE，

同理，AF＝AD＝CF，

∴AE＝CE＝AF＝CF，

∴四邊形AECF是菱形；

(2)連接EF交AC于點O.

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝10，

∴AC＝BC＝5，AB＝AC＝5.

∵四邊形AECF是菱形，

∴AC⊥EF，OA＝OC，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE＝AB＝，∴EF＝5，

∴S菱形AECF＝AC·EF＝×5×5＝.

20．(7分)鐘樓是云南大學的標志性建筑之一，某校數學興趣小組要測量鐘樓的高度，如圖，他們在點A處測得鐘樓最高點C的仰角為45°，再往鐘樓方向前進至點B處測得最高點C的仰角為54°，AB＝7 m，根據這個興趣小組測得的數據，計算鐘樓的高度CD.(tan36°≈0.73，結果保留整數)

解：∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，

∴AD＝CD，設AD＝CD＝x m，

∵AD＝AB＋BD，

∴BD＝AD－AB＝(x－7)m.

∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠CBD＝36°，

tan∠BCD＝，

∴tan36°＝，∴x·tan36°＝x－7，

∴x≈26.即CD≈26 m.

答：鐘樓的高度CD約為26 m.

21．(10分)某花店準備購進甲、乙兩種花卉，若購進甲種花卉20盆，乙種花卉50盆，需要720元；若購進甲種花卉40盆，乙種花卉30盆，需要880元．

(1)求購進甲、乙兩種花卉，每盆各需多少元；

(2)該花店銷售甲種花卉每盆可獲利6元，銷售乙種花卉每盆可獲利1元，現該花店準備拿出800元全部用來購進這兩種花卉，設購進甲種花卉x盆，全部銷售后獲得的利潤為W元，求W與x之間的函數關系式；

(3)在(2)的條件下，考慮到顧客需求，要求購進乙種花卉的數量不少于甲種花卉數量的6倍，且不超過甲種花卉數量的8倍，那么該花店共有幾種購進方案？在所有的購進方案中，哪種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

解：(1)設購進甲種花卉每盆m元，乙種花卉每盆n元．

由題意得解得

即購進甲種花卉每盆16元，乙種花卉每盆8元；

(2)由題意可得，W＝6x＋×1＝4x＋100，

即W與x之間的函數關系式是：W＝4x＋100；

(3)由題意得解得10≤x≤12.5，且x為整數，

故有三種購買方案，

方案一：購進甲種花卉10盆，乙種花卉80盆；

方案二：購進甲種花卉11盆，乙種花卉78盆；

方案三：購進甲種花卉12盆，乙種花卉76盆．

由W＝4x＋100可知，W隨x的增大而增大，

故方案三獲利最大，此時W＝4×12＋100＝148(元)，

即最大利潤是148元．

22．(10分)如圖，在△BCE中，點A是邊BE上一點，以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D，AD∥OC，點F為OC與⊙O的交點，連接AF.

(1)求證：CB是⊙O的切線；

(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求圖中陰影部分的面積．

解：(1)連接OD，與AF相交于點G.

∵CE與⊙O相切于點D，

∴OD⊥CE，

∴∠CDO＝90°.

∵AD∥OC，

∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC.

∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，

∴∠DOC＝∠BOC.

在△CDO和△CBO中，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CBO＝∠CDO＝90°，∴CB是⊙O的切線；

(2)由(1)可知∠DCO＝∠BCO，∠DOC＝∠BOC，

∵∠ECB＝60°，

∴∠DCO＝∠BCO＝∠ECB＝30°，

∴∠DOC＝∠BOC＝60°，

∴∠DOA＝60°.

∵OA＝OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴AD＝OD＝OF.

∵∠GOF＝∠ADO，

在△ADG和△FOG中，

∴△ADG≌△FOG，∴S△ADG＝S△FOG.

∵AB＝6，∴⊙O的半徑r＝3，

∴S陰＝S扇形ODF＝＝π.

23．(12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，經過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC.

(1)直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數解析式；(其中k，b用含a的式子表示)

(2)點E是直線l上方的拋物線上一點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

(3)設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

　　　　　　　　　　　　　　　　(備用圖)

解：(1)A(－1，0)．

圖①

如圖①，作DF⊥x軸于F，

∴DF∥OC，∴＝，

∵CD＝4AC，∴＝＝4.

∵OA＝1，∴OF＝4，

∴D點的橫坐標為4，

代入y＝ax2－2ax－3a，得y＝5a，

∴D(4，5a)，

把A，D坐標代入y＝kx＋b得

解得

∴直線l的函數解析式為y＝ax＋a.

(2)如圖①，過點E作EN⊥y軸于點N.AE與y軸交于點M，

設點E[m，a(m＋1)(m－3)]，yAE＝k1x＋b1，

則

解得

∴yAE＝a(m－3)x＋a(m－3)，M[0，a(m－3)]．

∵MC＝yM－yC＝a(m－3)－a，NE＝m，

∴S△ACE＝S△ACM＋S△CEM＝·MC·|xA|＋·MC·|xE|＝MC·(xE－xC)＝(m＋1)[a(m－3)－a]＝－a，

∴有最大值－a＝，∴a＝－；

(3)令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0，

解得：x1＝－1(舍去)，x2＝4，∴D(4，5a)．

∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，

設P(1，m)．

圖②

①如圖②，若AD是矩形的一條邊，

由AQ∥DP知xD－xP＝xA－xQ，

即4－1＝－1－xQ，∴xQ＝－4.

將x＝－4代入拋物線方程得Q(－4，21a)，

m＝yD＋yQ＝21a＋5a＝26a，則P(1，26a)．

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°，

∴AD2＋PD2＝AP2，

∴[4－(－1)]2＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，

即a2＝，∵a＜0，∴a＝－，

∴P1；

圖③

②如圖③，若AD是矩形的一條對角線，

(xA＋xD)＝(xQ＋xP)，

∴xQ＝2，將xQ＝2代入拋物線解析式得yQ＝－3a，故Q(2，－3a)，

m＝5a－(－3a)＝8a，則P2(1，8a)．

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD＝90°，

∴AP2＋PD2＝AD2.

∵AP2＝[1－(－1)]2＋(8a)2＝22＋(8a)2，

PD2＝(4－1)2＋(5a－8a)2＝32＋(3a)2，

AD2＝[4－(－1)]2＋(5a)2＝52＋(5a)2，

∴22＋(8a)2＋32＋(3a)2＝52＋(5a)2，

解得a2＝，∵a＜0，∴a＝－，

∴P2(1，－4)．

綜上可得，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能成為矩形，P點的坐標為(1，－4)或.

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