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2018年晉中中考數學模擬試題

一、數學模擬試題選擇題（每小題3分，共21分）

1．下列根式中，與是同類二次根式的是（　　）

　A．B．C.D．

考點：同類二次根式．

分析：把B、C、D選項化為最簡二次根式，然后根據同類二次根式的定義判斷即可．

解答：解：A、與不是同類二次根式，故本選項錯誤；

B、=3與不是同類二次根式，故本選項錯誤；

C、=3與不是同類二次根式，故本選項錯誤；

D、=與是同類二次根式，故本選項準確．

故選D．

點評：本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．

2．下列計算正確的是（　　）

　A．B．C．D．

考點：二次根式的混合運算．

專題：計算題．

分析：A、利用二次根式的乘法法則計算即可判定；

B、利用同類二次根式的定義即可判定；

C、利用二次根式的乘法法則計算即可判定；

D、利用二次根式的定義即可判定．

解答：解：A、，故選項正確；

B、，故選項錯誤；

C、，故選項錯誤；

D、，故選項錯誤．

故選A．

點評：此題主要考查了二次根式的混合運算，其中熟練化簡二次根式后，在加減的過程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時候，被開方數簡單的直接讓被開方數相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待

3．下列各組中的四條線段成比例的是（　　）

　A．4、2、1、3B．1、2、3、5C．3、4、5、6D．1、2、2、4

考點：比例線段．

分析：根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．

解答：解：

A.2×1≠3×4，故本選項錯誤；

B.1×5≠2×3，故本選項錯誤；

C.4×5≠3×6，故本選項錯誤；

D.2×2=1×4，故本選項正確；

故選；D．

點評：此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．　

4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情況為（　　）

　A．有兩個相等的實數根B．有兩個不相等的實數根

　C．只有一個實數根D．沒有實數根

考點：根的判別式．

專題：計算題．

分析：先計算判別式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況．

解答：解：根據題意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，

所以方程有兩個不相等的實數根．

故選：B．

點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．

5．用配方法解方程x2+4x﹣1=0，下列配方結果正確的是（　　）

　A．（x+2）2=5B．（x+2）2=1C．（x﹣2）2=1D．（x﹣2）2=5

考點：解一元二次方程-配方法．

分析：在本題中，把常數項﹣1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數4的一半的平方．

解答：解：把方程x2+4x﹣1=0的常數項移到等號的右邊，得到x2+4x=1

方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到x2+4x+4=1+4

配方得（x+2）2=5．

故選：A．

點評：本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：

（1）把常數項移到等號的右邊；

（2）把二次項的系數化為1；

（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．

6．順次連結矩形各邊的中點，所成的四邊形一定是（　　）

　A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．梯形

考點：中點四邊形．

分析：因為題中給出的條件是中點，所以可利用三角形中位線性質，以及矩形對角線相等去證明四條邊都相等，從而說明是一個菱形．

解答：解：連接AC、BD，

在△ABD中，

∵AH=HD，AE=EB

∴EH=BD，

同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，

又∵在矩形ABCD中，AC=BD，

∴EH=HG=GF=FE，

∴四邊形EFGH為菱形．

故選C．

點評：本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．

7．如圖，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，要使△AED∽△ABC，不能添加的條件是（　　）

　A．DE∥BCB．AD?AC=AB?AEC．AD：AC=AE：ABD．AD：AB=DE：BC

考點：相似三角形的判定．

分析：根據平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似對A進行判斷；根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似對B、C、D進行判斷．

解答：解：A、當DE∥BC，則△AED∽ACB，所以A選項錯誤；

B、當AD?AC=AB?AE，即AD：AB=AE：AC，而∠A公共，則△AED∽ACB，所以B選項錯誤；

C、當AD：AC=AE：AB，而∠A公共，則△AED∽△ABC，所以C選項

D、AD：AB=DE：BC，而它們的夾角∠ADE和∠ABC不確定相等，則不能判斷△AED與△ABC相似，所以D選項正確．

故選D．

點評：本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．

二、填空題（每小題4分，共40分）

8．若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是　x≥﹣4　．

考點：二次根式有意義的條件．

分析：根據二次根式有意義的條件可得x+4≥0，再解不等式即可．

解答：解：由題意得：x+4≥0，

解得：x≥﹣4，

故答案為：x≥﹣4．

點評：此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．

9．甲、乙兩地的實際距離20千米，則在比例尺為1：1000000的地圖上兩地間的距離應為　2　厘米．

考點：比例線段．

專題：應用題．

分析：比例問題，實際距離乘以比例尺即為圖上距離．

解答：解；20千米=2000000厘米，2000000×=2厘米．

點評：掌握比例線段的定義，靈活使用比例尺．

10．方程x2﹣4x=0的解為　x1=0，x2=4　．

考點：解一元二次方程-因式分解法．

專題：計算題．

分析：x2﹣4x提取公因式x，再根據“兩式的乘積為0，則至少有一個式子的值為0”求解．

解答：解：x2﹣4x=0

x（x﹣4）=0

x=0或x﹣4=0

x1=0，x2=4

故答案是：x1=0，x2=4．

點評：本題考查簡單的一元二次方程的解法，在解一元二次方程時應當注意要根據實際情況選擇最合適快捷的解法．該題運用了因式分解法．

11．如果，那么=　　．

考點：比例的性質．

分析：根據分比性質：1﹣=1﹣，可得答案．

解答：解：，由分比性質得

1﹣=1﹣，即

=，

故答案為：．

點評：本題考查了比例的性質，利用了分比性質．

12．若兩個三角形的相似比為2：3，則這兩個三角形周長的比為　2：3　．

考點：相似三角形的性質．

分析：根據相似三角形的性質：周長比等于相似比即可解得．

解答：解：∵兩個相似三角形的相似比為 2：3，

∴它們的周長比為：2：3．

故答案為：2：3．

點評：此題主要考查相似三角形的性質：相似三角形的周長比等于相似比．

13．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC的中點，若DE=3，則AC=　6　．

考點：三角形中位線定理．

分析：根據三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半可知，ED=AC，進而由DE的值求得AC．

解答：解：∵D，E分別是△ABC的邊AC和BC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∵DE=3，

∴AC=2DE=6．

故答案是：6．

點評：本題主要考查三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．

14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的兩根為x1、x2，x1+x2=　3　．

考點：根與系數的關系．

分析：根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，代入計算即可．

解答：解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的兩根是x1、x2，

∴x1+x2=3，

故答案為：3．

點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．

15．如圖，已知點E、F分別是△ABC中AC、AB邊的中點，BE與CF相交于點G，FG=2，則CG的長為　4　．

考點：三角形的重心．

分析：由點E、F分別是△ABC中AC、AB邊的中點，BE與CF相交于點G，可知點G是△ABC的重心，根據三角形重心的性質，可得CG=2FG=4．

解答：解：∵點E、F分別是△ABC中AC、AB邊的中點，BE、CF相交于點G，

∴點G為△ABC的重心，

∴CG=2FG=4．

故答案為4．

點評：此題主要考查了三角形重心的定義與性質，三角形三邊中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．

16．（2013秋?晉江市期末）如圖，D、E兩點分別在△ABC的邊BC、CA上，DE與AB不平行，當滿足條件（寫出一個即可）　∠CDE=∠A　時，△CDE∽△CAB．

考點：相似三角形的判定．

專題：開放型．

分析：要使兩個三角形相似，使兩個角對應相等，即可得出其相似．

解答：解：滿足條件∠CDE=∠A即可

∵∠CDE=∠A，∠C為公共角，

∴△CDE∽△CAB．

故答案為：∠CDE=∠A（答案不唯一）．

點評：本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定，熟練掌握滿足兩個三角形相似的條件．

17．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠B的平分線交AC于D，AC=2，則AD=　﹣1　．

考點：黃金分割．

分析：根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到∠ABC=∠C=72°，再利用角平分線的定義得∠ABD=∠ABC=36°，則DA=DB，于是可證明△BDC∽△ABC，利用相似比得到CD：BC=BC：AC，利用等線段代換得到CD：AD=AD：AC，于是可根據黃金分割的定義得到AD=AC．

解答：解：如圖，∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）=72°，

∵∠ABC的平分線BD與AC交于D，

∴∠ABD=∠ABC=36°，

∴DA=DB，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，

∴BD=BC，

∵∠C=∠ABC=∠BDC=72°，

∴△BDC∽△ABC，

∴CD：BC=BC：AC，

∴CD：AD=AD：AC，

∴AD=AC=﹣1．

故答案為：﹣1．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．

三、解答題（共89分）

18．計算：．

考點：二次根式的加減法．

專題：計算題．

分析：先將二次根式化為最簡，然后再進行同類二次根式的合并即可．

解答：解：原式=5﹣+=5．

點評：本題考查二次根式的加減運算，屬于基礎題，注意要先將二次根式化為最簡．

19．用配方法解方程：x2﹣4x+1=0

考點：解一元二次方程-配方法．

專題：配方法．

分析：首先把方程移項變形為x2﹣4x=﹣1的形式，然后在方程的左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，左邊就是完全平方式，右邊就是常數，然后利用平方根的定義即可求解．

解答：解：移項，得：x2﹣4x=﹣1，

配方，得：x2﹣4x+（﹣2）2=﹣1+（﹣2）2，

即（x﹣2）2=3，

解這個方程，得：x﹣2=±；

即x1=2+，x2=2﹣．

點評：配方法的一般步驟：

（1）把常數項移到等號的右邊；

（2）把二次項的系數化為1；

（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．

20．用公式法解方程：5x2﹣4x﹣12=0．

考點：解一元二次方程-公式法．

分析：先求出△的值，再代入求根公式計算即可．

解答：解：5x2﹣4x﹣12=0，

∵a=5，b=﹣4，c=﹣12，

∴x====，

∴x1=﹣2，x2=．

點評：此題考查了公式法解一元二次方程，用到的知識點是一元二次方程的求根公式，關鍵是求出△的值．

21．先化簡，再求值：（x+）（x﹣）+x（1﹣x），其中x=．

考點：整式的混合運算—化簡求值．

專題：計算題．

分析：原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．

解答：解：原式=x2﹣3+x﹣x2=x﹣3，

當x=﹣4時，原式=﹣7．

點評：此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

22．如圖，在網格圖中（小正方形的邊長1），△ABC的三個頂點都在格點上．

（1）直接寫出點C（　3　，　4　）的坐標，并把△ABC沿y軸對稱得△A1B1C1，再把△A1B1C1沿x軸對稱得△A2B2C2，請分別作出對稱后的圖形△A1B1C1與△A2B2C2；

（2）在方格紙中畫出與△ABC位似比為2：1的格點三角形．

考點：作圖-位似變換；作圖-軸對稱變換．

分析：（1）根據網格可直接寫出C點坐標；

（2）根據軸對稱的性質畫出圖形即可；

（3）以A為位似中心，邊長比為1：2畫出位似圖形圖即可．

解答：解：（1）如圖，△A1B1C1與△A2B2C2即為所求三角形．

由圖可知，C（3，4）．

故答案為：3，4；

（2）如圖：△A3B3C3即為所求．

點評：本題考查的是作圖﹣位似變換，熟知位似圖形的作法是解答此題的關鍵．

23．某中心城市有一樓盤，開發商準備以每平方米7000元價格出售，由于國家出臺了有關調控房地產的政策，開發商經過兩次下調銷售價格后，決定以每平方米5670元的價格銷售．

（1）求平均每次下調的百分率；

（2）房產銷售經理向開發商建議：先公布下調5%，再下調15%，這樣更有吸引力，請問房產銷售經理的方案對購房者是否更優惠？為什么？

考點：一元二次方程的應用．

專題：增長率問題；壓軸題．

分析：（1）設出平均每次下調的百分率為x，利用原每平方米銷售價格×（1﹣每次下調的百分率）2=經過兩次下調每平方米銷售價格列方程解答即可；

（2）求出先下調5%，再下調15%，是原來價格的百分率，與開發商的方案比較，即可求解．

解答：解：（1）設平均每次下調的百分率是x，根據題意列方程得，

7000（1﹣x）2=5670，

解得：x1=10%，x2=190%（不合題意，舍去）；

答：平均每次下調的百分率為10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）

=95%×85%

=80.75%，

（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．

∵80.75%＜81%，

∴房產銷售經理的方案對購房者更優惠．

點評：此題考查一元二次方程的應用，其中的基本數量關系：原每平方米銷售價格×（1﹣每次下調的百分率）2=經過兩次下調每平方米銷售價格．

24．如圖，在△ABC中，AB=7，AC=6，BC=8，點M是AB上的一個動點，MN∥BC交AC于點N，若點M從點B處開始向點A方向運動，速度為每秒2個單位．

（1）當運動2秒時，求AM的長；

（2）如果記運動的時間為x秒，MN的長度為y個單位，請你寫出y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

考點：平行線分線段成比例．

專題：計算題．

分析：（1）利用路程等于速度乘以時間得到BM=4，則用AB﹣BM即可得到AM；

（2）根據平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例得到=，即=，再利用比例性質變形，用x表示y即可，并寫出x的取值范圍．

解答：解：（1）當運動2秒時，BM=4，

所以AM=AB﹣BM=7﹣4=3；

（2）記運動的時間為x秒，則BM=2x，則AM=7﹣2x，

∵MN∥BC，

∴=，即=，

∴y=﹣x+8（0＜y＜）．

點評：本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．

25．某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的進價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部，月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量在10部以內（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元．

（1）若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為　26.8　萬元；

（2）如果汽車的售價為28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）

考點：一元二次方程的應用．

分析：（1）根據若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部，得出該公司當月售出3部汽車時，則每部汽車的進價為：27﹣0.1×2，即可得出答案；

（2）利用設需要售出x部汽車，由題意可知，每部汽車的銷售利潤，根據當0≤x≤10，以及當x＞10時，分別討論得出即可．

解答：解：（1）∵若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部，

∴若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為：27﹣0.1×（3﹣1）=26.8，

故答案為：26.8；

（2）設需要售出x部汽車，

由題意可知，每部汽車的銷售利潤為：

28﹣[27﹣0.1（x﹣1）]=（0.1x+0.9）（萬元），

當0≤x≤10，

根據題意，得x?（0.1x+0.9）+0.5x=12，

整理，得x2+14x﹣120=0，

解這個方程，得x1=﹣20（不合題意，舍去），x2=6，

當x＞10時，

根據題意，得x?（0.1x+0.9）+x=12，

整理，得x2+19x﹣120=0，

解這個方程，得x1=﹣24（不合題意，舍去），x2=5，

因為5＜10，所以x2=5舍去．

答：需要售出6部汽車．

點評：本題考查了一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系并進行分段討論是解題關鍵．

26．如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B點以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．若P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間．

（1）當t=5時，△PAQ的面積=　25　cm2；

（2）當t=　　時，△PAQ是等腰直角三角形；

（3）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的△PAQ與△ABC相似？

考點：四邊形綜合題．

分析：（1）當t=5時，AQ=BC﹣5=10﹣5=5，AP=2×5=10，再根據三角形的面積公式即可得出結論；

（2）根據AQ=AP時△PAQ是等腰直角三角形即可得出t的值；

（3）若以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似，有兩種情況：

①△APQ∽△BAC，此時得AQ：BC=AP：AB；

②△APQ∽△BCA，此時得AQ：AB=AP：BC．

解答：解：（1）∵AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B點以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動，

∴當t=5時，AQ=BC﹣5=10﹣5=5，AP=2×5=10，

∴S△PAQ=×AP×AQ=×10×5=25cm2．

故答案為：25；

（2）∵AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B點以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動，

∴AQ=10﹣t，AP=2t，

∵△PAQ是等腰直角三角形，

∴10﹣t=2t，解得t=s．

故答案為：；

（3）∵以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似，

∴△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，

①當△ABC∽△PAQ時，

=，即=，

解得：t=；

②當△ABC∽△QAP時，

=，=，解得t=．

故當t=s或t=s時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、矩形的性質等知識，難度適中．