基本事實和公理的區(qū)別

“公理”是人們在長期實踐中總結(jié)出來的基本數(shù)學(xué)知識并作為判定其它命題真假的根據(jù)，經(jīng)過人類長期反復(fù)的實踐檢驗是真實的，大家普遍公認的、不需要由其他判斷加以證明、且也不能由其他判斷證明的命題和原理。一些學(xué)科就是建立在這樣一些公理的基礎(chǔ)上；“基本事實”是說人證物證都在，邏輯上能說明它是正確的。

公理的歷史發(fā)展

經(jīng)由可靠的論證（三段論、推理規(guī)則）由前提（原有的知識）導(dǎo)至結(jié)論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發(fā)展出來的，并已成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導(dǎo)，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導(dǎo)出特定一套演繹知識的基本假設(shè)。

公理不證自明，而所有其他的斷言（若談?wù)摰氖菙?shù)學(xué)，則為定理）則都必須借助這些基本假設(shè)才能被證明。然而，對數(shù)學(xué)知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終“公理”這一詞對今日的數(shù)學(xué)家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。

古希臘人認為幾何學(xué)也是數(shù)種科學(xué)的其中之一，且視幾何學(xué)的定理和科學(xué)事實有同等地位。他們發(fā)展并使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，并以此來建構(gòu)及傳遞知識。亞里斯多德的后分析篇是對此傳統(tǒng)觀點的一決定性的闡述。

“公理”，以傳統(tǒng)的術(shù)語來說，是指在許多科學(xué)分支中所共有的一個不證自明的假設(shè)。

在各種科學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)中，或許會有某些未經(jīng)證明而被接受的附加假定，此類假定稱為“公設(shè)”。公理是許多科學(xué)分支所共有的，而各個科學(xué)分支中的公設(shè)則是不同的。公設(shè)的有效性必須建立在現(xiàn)實世界的經(jīng)驗上。確實，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設(shè)的真實性，這門科學(xué)之內(nèi)容便無法成功傳遞。

傳統(tǒng)的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來，其中給定一些公設(shè)（從人們的經(jīng)驗中總結(jié)出的幾何常識事實），以及一些“公理”（極基本、不證自明的斷言）。