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2017年湖北省黃石市中考數學試卷

一、選擇題

1．（2017黃石市數學試題）下列各數是有理數的是（　?。?/p>

A．﹣????????????? B．????????????? C．????????????? D．π

2．地球繞太陽公轉的速度約為110000km/h，則110000用科學記數法可表示為（　?。?/p>

A．0.11×106????????????? B．1.1×105????????????? C．0.11×105????????????? D．1.1×106

3．下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

4．下列運算正確的是（　　）

A．a0=0????????????? B．a2+a3=a5????????????? C．a2?a﹣1=a????????????? D． +=

5．如圖，該幾何體主視圖是（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

6．下表是某位男子馬拉松長跑運動員近6次的比賽成績（單位：分鐘）

則這組成績的中位數和平均數分別為（　?。?/p>

A．137、138????????????? B．138、137????????????? C．138、138????????????? D．137、139

7．（2017黃石市數學試題）如圖，△ABC中，E為BC邊的中點，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，則∠CDE+∠ACD=（　　）

A．60°????????????? B．75°????????????? C．90°????????????? D．105°

8．如圖，是二次函數y=ax2+bx+c的圖象，對下列結論①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中錯誤的個數是（　　）

A．3????????????? B．2????????????? C．1????????????? D．0

9．如圖，已知⊙O為四邊形ABCD的外接圓，O為圓心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，則⊙O的半徑長為（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

10．如圖，已知凸五邊形ABCDE的邊長均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，則BD必定滿足（　　）

A．BD＜2????????????? B．BD=2

C．BD＞2????????????? D．以上情況均有可能

二、（2017黃石市數學試題）填空題

11．因式分解：x2y﹣4y=　?? ?。?/p>

12．分式方程=﹣2的解為　?? ?。?/p>

13．如圖，已知扇形OAB的圓心角為60°，扇形的面積為6π，則該扇形的弧長為　?? ?。?/p>

14．如圖所示，為了測量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一測量人員在該建筑物附近C處，測得建筑物頂端A處的仰角大小為45°，隨后沿直線BC向前走了100米后到達D處，在D處測得A處的仰角大小為30°，則建筑物AB的高度約為　?? 　米．

（注：不計測量人員的身高，結果按四舍五入保留整數，參考數據：≈1.41，≈1.73）

15．甲、乙兩位同學各拋擲一枚質地均勻的骰子，他們拋擲的點數分別記為a、b，則a+b=9的概率為　?? ?。?/p>

16．觀察下列格式：

=1﹣=

+=1﹣+﹣=

++=1﹣+﹣+﹣=

…

請按上述規律，寫出第n個式子的計算結果（n為正整數）　?? ?。▽懗鲎詈営嬎憬Y果即可）

三、（2017黃石市數學試題）解答題

17．計算：（﹣2）3++10+|﹣3+|．

18．先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a=2sin60°﹣tan45°．

19．已知關于x的不等式組恰好有兩個整數解，求實數a的取值范圍．

20．已知關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0

（1）求證：該方程有兩個不等的實根；

（2）若該方程的兩個實數根x1、x2滿足x1+2x2=9，求m的值．

21．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE．

（1）求證：DB=DE；

（2）求證：直線CF為⊙O的切線．

22．隨著社會的發展，私家車變得越來越普及，使用節能低油耗汽車，對環保有著非常積極的意義，某市有關部門對本市的某一型號的若干輛汽車，進行了一項油耗抽樣實驗：即在同一條件下，被抽樣的該型號汽車，在油耗1L的情況下，所行駛的路程（單位：km）進行統計分析，結果如圖所示：

（注：記A為12～12.5，B為12.5～13，C為13～13.5，D為13.5～14，E為14～14.5）

請依據統計結果回答以下問題：

（1）試求進行該試驗的車輛數；

（2）請補全頻數分布直方圖；

（3）若該市有這種型號的汽車約900輛（不考慮其他因素），請利用上述統計數據初步預測，該市約有多少輛該型號的汽車，在耗油1L的情況下可以行駛13km以上？

23．小明同學在一次社會實踐活動中，通過對某種蔬菜在1月份至7月份的市場行情進行統計分析后得出如下規律：

①該蔬菜的銷售價P（單位：元/千克）與時間x（單位：月份）滿足關系：P=9﹣x

②該蔬菜的平均成本y（單位：元/千克）與時間x（單位：月份）滿足二次函數關系y=ax2+bx+10，已知4月份的平均成本為2元/千克，6月份的平均成本為1元/千克．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）請運用小明統計的結論，求出該蔬菜在第幾月份的平均利潤L（單位：元/千克）最大？最大平均利潤是多少？（注：平均利潤=銷售價﹣平均成本）

24．（2017黃石市數學試題）在現實生活中，我們會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為：1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”，在“標準矩形”ABCD中，P為DC邊上一定點，且CP=BC，如圖所示．

（1）如圖①，求證：BA=BP；

（2）如圖②，點Q在DC上，且DQ=CP，若G為BC邊上一動點，當△AGQ的周長最小時，求的值；

（3）如圖③，已知AD=1，在（2）的條件下，連接AG并延長交DC的延長線于點F，連接BF，T為BF的中點，M、N分別為線段PF與AB上的動點，且始終保持PM=BN，請證明：△MNT的面積S為定值，并求出這個定值．

25．如圖，直線l：y=kx+b（k＜0）與函數y=（x＞0）的圖象相交于A、C兩點，與x軸相交于T點，過A、C兩點作x軸的垂線，垂足分別為B、D，過A、C兩點作y軸的垂線，垂足分別為E、F；直線AE與CD相交于點P，連接DE，設A、C兩點的坐標分別為（a，）、（c，），其中a＞c＞0．

（1）如圖①，求證：∠EDP=∠ACP；

（2）如圖②，若A、D、E、C四點在同一圓上，求k的值；

（3）如圖③，已知c=1，且點P在直線BF上，試問：在線段AT上是否存在點M，使得OM⊥AM？請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

2017年湖北省黃石市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、（2017黃石市數學試題）選擇題

1．下列各數是有理數的是（　　）

A．﹣????????????? B．????????????? C．????????????? D．π

【考點】27：實數．

【分析】利用有理數的定義判斷即可．

【解答】解：有理數為﹣，無理數為，，π，

故選A

2．地球繞太陽公轉的速度約為110000km/h，則110000用科學記數法可表示為（　?。?/p>

A．0.11×106????????????? B．1.1×105????????????? C．0.11×105????????????? D．1.1×106

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：將110000用科學記數法表示為：1.1×105．

故選B．

3．下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】R5：中心對稱圖形；P3：軸對稱圖形．

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項正確．

故選D．

4．下列運算正確的是（　　）

A．a0=0????????????? B．a2+a3=a5????????????? C．a2?a﹣1=a????????????? D． +=

【考點】6B：分式的加減法；35：合并同類項；46：同底數冪的乘法；6E：零指數冪；6F：負整數指數冪．

【分析】根據整式的運算法則以及分式的運算法則即可求出答案．

【解答】解：（A）a0=1（a≠0），故A錯誤；

（B）a2與a3不是同類項，故B錯誤；

（D）原式=，故D錯誤；

故選（C）

5．（2017黃石市數學試題）如圖，該幾何體主視圖是（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】U1：簡單幾何體的三視圖．

【分析】根據三棱柱的特點并結合選項作出正確的判斷即可．

【解答】解：三棱柱的主視圖為矩形，

∵正對著的有一條棱，

∴矩形的中間應該有一條實線，

故選B．

6．下表是某位男子馬拉松長跑運動員近6次的比賽成績（單位：分鐘）

則這組成績的中位數和平均數分別為（　　）

A．137、138????????????? B．138、137????????????? C．138、138????????????? D．137、139

【考點】W4：中位數；W1：算術平均數．

【分析】根據中位數的定義和平均數的求法計算即可，中位數是將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．

【解答】解：把這組數據按從大到小的順序排列是：125，129，136，140，145，147，

故這組數據的中位數是：÷2=138；

平均數=÷6=137．

故選B．

　[來源:學?？啤＞W]

7．如圖，△ABC中，E為BC邊的中點，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE=，則∠CDE+∠ACD=（　　）

A．60°????????????? B．75°????????????? C．90°????????????? D．105°

【考點】KS：勾股定理的逆定理；KP：直角三角形斜邊上的中線．

【分析】根據直角三角形的性質得到BC=2CE=，根據勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根據三角函數的定義得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到結論．

【解答】解：∵CD⊥AB，E為BC邊的中點，

∴BC=2CE=，

∵AB=2，AC=1，

∴AC2+BC2=12+（）2=4=22=AB2，[來源:Z,xx,k.Com]

∴∠ACB=90°，

∵tan∠A==，

∴∠A=60°，

∴∠ACD=∠B=30°，[來源:學科網ZXXK]

∴∠DCE=60°，

∵DE=CE，

∴∠CDE=60°，

∴∠CDE+∠ACD=90°，

故選C．

8．（2017黃石市數學試題）如圖，是二次函數y=ax2+bx+c的圖象，對下列結論①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中錯誤的個數是（　?。?/p>

A．3????????????? B．2????????????? C．1????????????? D．0

【考點】H4：二次函數圖象與系數的關系．

【分析】根據拋物線的開口方向，判斷a的符號，對稱軸在y軸的右側判斷b的符號，拋物線和y軸的交點坐標判斷c的符號，以及拋物線與x軸的交點個數判斷b2﹣4ac的符號．

【解答】解：∵拋物線的開口向上，

∴a＞0，

∵對稱軸在y軸的右側，

∴b＜0，

∴ab＜0，故①錯誤；

∵拋物線和y軸的負半軸相交，

∴c＜0，

∴abc＞0，故②正確；

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2﹣4ac＞0，

∴＜1，故③正確；

故選C．

9．如圖，已知⊙O為四邊形ABCD的外接圓，O為圓心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，則⊙O的半徑長為（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】M6：圓內接四邊形的性質．

【分析】連接BD，作OE⊥AD，連接OD，先由圓內接四邊形的性質求出∠BAD的度數，再由AD=AB可得出△ABD是等邊三角形，則DE=AD，∠ODE=∠ADB=30°，根據銳角三角函數的定義即可得出結論．

【解答（2017黃石市數學試題）】解：連接BD，作OE⊥AD，連接OD，

∵⊙O為四邊形ABCD的外接圓，∠BCD=120°，

∴∠BAD=60°．

∵AD=AB=2，

∴△ABD是等邊三角形．

∴DE=AD=1，∠ODE=∠ADB=30°，

∴OD==．

故選D．

10．如圖，已知凸五邊形ABCDE的邊長均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，則BD必定滿足（　　）

A．BD＜2????????????? B．BD=2

C．BD＞2????????????? D．以上情況均有可能

【考點】L7：平行四邊形的判定與性質；KM：等邊三角形的判定與性質．[來源:Z.xx.k.Com]

【分析】先根據等腰三角形的底角相等，得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE∥CD，再根據一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，得出△ABC是等邊三角形．

【解答】（2017黃石市數學試題）證明：∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB

∵∠ABC=2∠DBE，

∴∠ABE+∠CBD=∠DBE，

∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，

∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，

∴∠AED+∠CDE=180°，

∴AE∥CD，

∵AE=CD，

∴四邊形AEDC為平行四邊形．

∴DE=AC=AB=BC．

∴△ABC是等邊三角形，

∴BC=CD=1，

在△BCD中，∵BD＜BC+CD，

∴BD＜2．

故選A．

二、填空題

11．因式分解：x2y﹣4y=　y（x﹣2）（x+2）　．

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用．

【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．

【解答】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．

故答案為：y（x﹣2）（x+2）．

12．分式方程=﹣2的解為　x=　．

【考點】B3：解分式方程．

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：2x=3﹣4x+4，

解得：x=，

經檢驗x=是分式方程的解，

故答案為：x=

13．如圖，已知扇形OAB的圓心角為60°，扇形的面積為6π，則該扇形的弧長為　3π　．

【考點】MO：扇形面積的計算；MN：弧長的計算．

【分析】首先根據扇形的面積公式求得扇形的半徑，然后根據扇形的面積公式S扇形=lR（其中l為扇形的弧長），求得扇形的弧長．

【解答】解：設扇形的半徑是R，則=6π，

解得：r=6，

設扇形的弧長是l，則lr=6π，即3l=6π，

解得：l=3π．

故答案是：3π．

14．（2017黃石市數學試題）如圖所示，為了測量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一測量人員在該建筑物附近C處，測得建筑物頂端A處的仰角大小為45°，隨后沿直線BC向前走了100米后到達D處，在D處測得A處的仰角大小為30°，則建筑物AB的高度約為　137　米．

（注：不計測量人員的身高，結果按四舍五入保留整數，參考數據：≈1.41，≈1.73）

【考點】TA：解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．

【分析】設AB=x米，由∠ACB=45°得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100，根據tan∠ADB=可得關于x的方程，解之可得答案．

【解答】解：設AB=x米，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，

∴BC=AB=x米，

則BD=BC+CD=x+100（米），

在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，

∴tan∠ADB==，即=，

解得：x=50+50≈137，

即建筑物AB的高度約為137米[來源:學+科+網Z+X+X+K]

故答案為：137．

15．甲、乙兩位同學各拋擲一枚質地均勻的骰子，他們拋擲的點數分別記為a、b，則a+b=9的概率為　?。?/p>

【考點】（2017黃石市數學試題）X6：列表法與樹狀圖法．

【分析】利用列表法即可解決問題．

【解答】解：甲、乙兩位同學各拋擲一枚質地均勻的骰子，所有可能的結果是：

滿足a+b=9的有4種可能，

∴a+b=9的概率為=，

故答案為．

16．觀察下列格式：

=1﹣=

+=1﹣+﹣=

++=1﹣+﹣+﹣=

…

請按上述規律，寫出第n個式子的計算結果（n為正整數）　?。▽懗鲎詈営嬎憬Y果即可）

【考點】37：規律型：數字的變化類．

【分析】根據上述各式的規律即可求出第n個式子的計算結果．

【解答】（2017黃石市數學試題）解：n=1時，結果為： =；

n=2時，結果為： =；

n=3時，結果為：

所以第n個式子的結果為：

故答案為：

三、解答題

17．計算：（﹣2）3++10+|﹣3+|．

【考點】2C：實數的運算；6E：零指數冪．

【分析】原式利用乘方的意義，算術平方根定義，零指數冪法則，以及絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果．

【解答】解：原式=﹣8+4+1+3﹣=﹣．

18．先化簡，再求值：（﹣）÷，其中a=2sin60°﹣tan45°．

【考點】6D：分式的化簡求值；T5：特殊角的三角函數值．

【分析】將原式括號內通分、將除法轉化為乘法，再計算減法，最后約分即可化簡原式，根據特殊銳角三角函數值求得a的值，代入即可．

【解答】解：原式=[﹣]?（a﹣1）

=?（a﹣1）

=

當a=2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1時，

原式==．

19．已知關于x的不等式組恰好有兩個整數解，求實數a的取值范圍．

【考點】CC：一元一次不等式組的整數解．

【分析】首先解不等式組求得解集，然后根據不等式組只有兩個整數解，確定整數解，則可以得到一個關于a的不等式組求得a的范圍．

【解答】解：解5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2，

解x≤8﹣x+2a得：x≤4+a．

則不等式組的解集是：﹣2＜x≤4+a．

不等式組只有兩個整數解，是﹣1和0．

根據題意得：0≤4+a＜1．

解得：﹣4≤a＜﹣3．

20．已知關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0

（1）求證：該方程有兩個不等的實根；

（2）若該方程的兩個實數根x1、x2滿足x1+2x2=9，求m的值．

【考點】AB：根與系數的關系；AA：根的判別式．

【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，可得出△=16+4m2＞0，由此可證出該方程有兩個不等的實根；

（2）根據根與系數的關系可得x1+x2=4①、x1?x2=﹣m2②，結合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，將其代入②中即可求出m的值．

【解答】（1）證明：∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，

∴該方程有兩個不等的實根；

（2）解：∵該方程的兩個實數根分別為x1、x2，

∴x1+x2=4①，x1?x2=﹣m2②．

∵x1+2x2=9③，

∴聯立①③解之，得：x1=﹣1，x2=5，

∴x1?x2=﹣5=﹣m2，

解得：m=±．

21．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE．

（1）求證：DB=DE；

（2）求證：直線CF為⊙O的切線．

【考點】MI：三角形的內切圓與內心；MD：切線的判定．

【分析】（1）欲證明DB=DE，只要證明∠DBE=∠DEB；

（2）欲證明直線CF為⊙O的切線，只要證明BC⊥CF即可；

【解答】（1）證明：∵E是△ABC的內心，

∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，

∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE．

（2）連接CD．

∵DA平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAC，

∴=，

∴BD=CD，

∵BD=DF，

∴CD=DB=DF，

∴∠BCF=90°，

∴BC⊥CF，

∴CF是⊙O的切線．

22．（2017黃石市數學試題）隨著社會的發展，私家車變得越來越普及，使用節能低油耗汽車，對環保有著非常積極的意義，某市有關部門對本市的某一型號的若干輛汽車，進行了一項油耗抽樣實驗：即在同一條件下，被抽樣的該型號汽車，在油耗1L的情況下，所行駛的路程（單位：km）進行統計分析，結果如圖所示：

（注：記A為12～12.5，B為12.5～13，C為13～13.5，D為13.5～14，E為14～14.5）

請依據統計結果回答以下問題：

（1）試求進行該試驗的車輛數；

（2）請補全頻數分布直方圖；

（3）若該市有這種型號的汽車約900輛（不考慮其他因素），請利用上述統計數據初步預測，該市約有多少輛該型號的汽車，在耗油1L的情況下可以行駛13km以上？

【考點】V8：頻數（率）分布直方圖；V5：用樣本估計總體；VB：扇形統計圖．

【分析】（1）根據C所占的百分比以及頻數，即可得到進行該試驗的車輛數；

（2）根據B的百分比，計算得到B的頻數，進而得到D的頻數，據此補全頻數分布直方圖；

（3）根據C，D，E所占的百分比之和乘上該市這種型號的汽車的總數，即可得到結果．

【解答】解：（1）進行該試驗的車輛數為：9÷30%=30（輛），

（2）B：20%×30=6（輛），

D：30﹣2﹣6﹣9﹣4=9（輛），

補全頻數分布直方圖如下：

（3）900×=660（輛），

答：該市約有660輛該型號的汽車，在耗油1L的情況下可以行駛13km以上．

23．小明同學在一次社會實踐活動中，通過對某種蔬菜在1月份至7月份的市場行情進行統計分析后得出如下規律：

①該蔬菜的銷售價P（單位：元/千克）與時間x（單位：月份）滿足關系：P=9﹣x

②該蔬菜的平均成本y（單位：元/千克）與時間x（單位：月份）滿足二次函數關系y=ax2+bx+10，已知4月份的平均成本為2元/千克，6月份的平均成本為1元/千克．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）請運用小明統計的結論，求出該蔬菜在第幾月份的平均利潤L（單位：元/千克）最大？最大平均利潤是多少？（注：平均利潤=銷售價﹣平均成本）

【考點】HE：二次函數的應用．

【分析】（1）將x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10，求得a、b即可；

（2）根據“平均利潤=銷售價﹣平均成本”列出函數解析式，配方成頂點式，利用二次函數的性質求解可得．

【解答】解：（1）將x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10，

得：，

解得：，

∴y=x2﹣3x+10；

（2）根據題意，知L=P﹣y=9﹣x﹣（x2﹣3x+10）=﹣（x﹣4）2+3，

∴當x=4時，L取得最大值，最大值為3，

答：4月份的平均利潤L最大，最大平均利潤是3元/千克．

24．（2017黃石市數學試題）在現實生活中，我們會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為：1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”，在“標準矩形”ABCD中，P為DC邊上一定點，且CP=BC，如圖所示．

（1）如圖①，求證：BA=BP；

（2）如圖②，點Q在DC上，且DQ=CP，若G為BC邊上一動點，當△AGQ的周長最小時，求的值；

（3）如圖③，已知AD=1，在（2）的條件下，連接AG并延長交DC的延長線于點F，連接BF，T為BF的中點，M、N分別為線段PF與AB上的動點，且始終保持PM=BN，請證明：△MNT的面積S為定值，并求出這個定值．

【考點】SO：相似形綜合題．

【分析】（1）如圖①中，設AD=BC=a，則AB=CD=a．通過計算得出AB=BP=a，由此即可證明；

（2）如圖②中，作Q關于BC的對稱點Q′，連接AQ′交BC于G，此時△AQG的周長最?。OAD=BC=QD=a，則AB=CD=a，可得CQ=CQ′=a﹣a，由CQ′∥AB，推出===；

（3）如圖③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT=?TH?CK+?TH?BK=HT?（KC+KB）=HT?BC=HT，利用梯形的中位線定理求出HT即可解決問題；

【解答】（1）證明：如圖①中，設AD=BC=a，則AB=CD=a．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

∵PC=AD=BC=a，

∴PB==a，

∴BA=BP．

（2）解：如圖②中，作Q關于BC的對稱點Q′，連接AQ′交BC于G，此時△AQG的周長最小．

設AD=BC=QD=a，則AB=CD=a，

∴CQ=CQ′=a﹣a，

∵CQ′∥AB，

∴===．

（3）（2017黃石市數學試題）證明：如圖③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．

由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD=，DP=CF=﹣1，

∵S△MNT=?TH?CK+?TH?BK=HT?（KC+KB）=HT?BC=HT，

∵TH∥AB∥FM，TF=TB，

∴HM=HN，

∴HT=（FM+BN），

∵BN=PM，

∴HT=（FM+PM）=PF=?（1+﹣1）=，

∴S△MNT=HT==定值．

25．如圖，直線l：y=kx+b（k＜0）與函數y=（x＞0）的圖象相交于A、C兩點，與x軸相交于T點，過A、C兩點作x軸的垂線，垂足分別為B、D，過A、C兩點作y軸的垂線，垂足分別為E、F；直線AE與CD相交于點P，連接DE，設A、C兩點的坐標分別為（a，）、（c，），其中a＞c＞0．

（1）如圖①，求證：∠EDP=∠ACP；

（2）如圖②，若A、D、E、C四點在同一圓上，求k的值；

（3）如圖③，已知c=1，且點P在直線BF上，試問：在線段AT上是否存在點M，使得OM⊥AM？請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【考點】GB：反比例函數綜合題．

【分析】（1）由P、E、D的坐標可表示出PA、EP、PC和DP的長，可證明△EPD∽△CPA，利用相似三角形的性質可證得結論；

（2）連接AD、EC，可證明△AEC≌△CDA，可得CD=AE，把A、C坐標代入直線l解析式，可求得k的值；

（3）假設在線段AT上存在點M，使得OM⊥AM，連接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐標，利用直線BF的解析式可求得a的值，可求得A點坐標，可求得T點坐標，在△OAT中，利用等積法可求得OM的長，在RtOMT中可求得MT的長，作MN⊥x軸，同理可求得MN的長，則可求得ON的長，可判斷N在線段BT上，滿足條件，從而可知存在滿足條件的M點．

【解答】（2017黃石市數學試題）（1）證明：

由題意可知P（c，），E（0，），D（c，0），

∴PA=a﹣c，EP=c，PC=﹣=，DP=，

∴==，且∠EPD=∠APC，

∴△EPD∽△CPA，

∴∠EDP=∠ACP；

（2）解：如圖1，連接AD、EC，

由（1）可知DE∥AC，

∴∠DEC+∠ECA=180°，

∵A、D、E、C四點在同圓周上，

∴∠DEC+∠DAC=180°，

∴∠ECA=∠DAC，

在△AEC和△CDA中

∴△AEC≌△CDA（AAS），

∴CD=AE，即a=，可得ac=4，

∵A、C在直線l上，

∴，解得k==﹣=﹣1；

（3）假設在線段AT上存在點M，使OM⊥AM，連接OM、OA，作MN⊥x軸于點N，如圖2，

∵c=1，

∴C（1，4），F（0，4），P（1，），B（a，0），

設直線BF的解析式為y=k′x+4，由題意可得，解得a=2，

∴A（2，2），

∴AP為△DCT的中位線，

∴T（3，0），

∴AT==

∵S△OAT=OT?AB=AT?OM，

∴OM===，

在Rt△OMT中，MT===，

同理可求得MN==，

在Rt△OMN中，ON===，

∵2＜＜3，

∴點M在線段AT上，

即在線段AT上存在點M，使得OM⊥AM，M點的坐標為（，）．

2017年7月16日