二項式定理,又稱牛頓二項式定理,由艾薩克·牛頓于1664、1665年間提出。在數學里,二項式系數,或組合數,是定義為形如(1+x)?展開后x的系數(其中n為自然數,k為整數)。
二項式系數對組合數學很重要,因它的意義是從n件物件中,不分先后地選取k件的方法總數,因此也叫做組合數。從定義出發,把n個(1+x)項的乘積展開,其中任意k項的x和n?k項的1相乘得出一個x,故此x的系數是從n個選取k個的方法總數。把各項的x標記可以更清楚看出:當n=4, k=2時,
二項式系數是楊輝三角的第n+1行從左起第k+1個數,它最先由楊輝發現。
二項式系數符合等式可以由其公式證出,也可以從其在組合數學的意義推導出來。如第一式左項表示從n+1件選取k件的方法數,這些方法可分為沒有選取第n+1件,即是從其余n件選取k件;和有選取第n+1件,即是從其余n件選取k?1件。而第二式則是每個從n件選取k件的方法,也可看為選取其余n?k件的方法。
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