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函數(shù)的極值怎么求 方法有哪些

2024-07-26 11:27:47文/董玉瑩

函數(shù)極值的求法:(1)用一階導數(shù)求之(第一充分條件);(2)用二階導數(shù)求之(第二充分條件);(3)根據(jù)定義求之;(4)利用泰勒公式結合前述各法判別之,并求出極值;(5)利用基本結論。

函數(shù)的極值怎么求 方法有哪些

函數(shù)極值的求法

求法一、用一階導數(shù)求之(第一充分條件)

設函數(shù)f(x)在點x0處的一個鄰域內(nèi)可導,且f'(x0)=0,或f'(x0)不存在,但f(x)在x=x0處連續(xù)。若f(x)在點x0的兩側鄰近導數(shù)異號,則f(x0)是函數(shù)f(x)的極值。當導數(shù)符號由正變負時,f(x0)是極大值;由負變正時,f(x0)是極小值.若f(x)在點x0的兩側鄰近導數(shù)不變號,則f(x0)不是極值。

注意:f(x)不存在的點,也可能是極值點如上例,可用該點左右兩側一階導數(shù)是否變號判別之。

因判斷一點處的f"(x)的符號比判斷一個區(qū)間上的f''(x)的符號要方便一些,所以對可導函數(shù)常用二階導數(shù)求其極值(見求法二)。

求法二、用二階導數(shù)求之(第二充分條件)

設函數(shù)f(x)在點x0處二階可導,且f'(x0)=0,但f"(x )≠0,則當f"(x0)>0時,f(x)在x0處取極小值f(x0);當f"(x0)<0時,f(x)在x0處取極大值f(x0)。

設函數(shù)f(x)在點x0處二階可導,且f'(x0)=0,但f"(x )≠0,則當f"(x0)>0時,f(x)在x0處取極小值f(x0);當f"(x0)<0時,f(x)在x0處取極大值f(x0)。

利用導數(shù)的極限性質(zhì)求函數(shù)的極值

1. 函數(shù)的極值可能與導數(shù)的極限有關

在某些情況下,函數(shù)的極值可能與導數(shù)的極限有關。例如,如果一個函數(shù)在某一點處的導數(shù)為無窮大,那么該點可能是函數(shù)的極值點。

2. 利用導數(shù)的極限性質(zhì)求極值

在這種情況下,我們需要使用導數(shù)的極限性質(zhì)來求極值。例如,如果一個函數(shù)在某一點處的導數(shù)為無窮大,那么我們可以嘗試在該點附近求導數(shù)的極限,以確定該點是否為函數(shù)的極值點。

函數(shù)的最大值和最小值怎么求

1、配方法: 形如的函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的極值點或邊界點的取值確定函數(shù)的最值。

2、判別式法: 形如的分式函數(shù), 將其化成系數(shù)含有y的關于x的二次方程。由于, 所以≥0, 求出y的最值, 此種方法易產(chǎn)生增根, 因而要對取得最值時對應的x值是否有解檢驗。

3、利用函數(shù)的單調(diào)性:首先明確函數(shù)的定義域和單調(diào)性, 再求最值。

4、利用均值不等式,形如的函數(shù), 注意正、定等的應用條件, 即: a, b均為正數(shù), 是定值, a=b的等號是否成立。

5、換元法:形如的函數(shù), 令,反解出x, 代入上式, 得出關于t的函數(shù), 注意t的定義域范圍, 再求關于t的函數(shù)的最值。 還有三角換元法, 參數(shù)換元法。

6、數(shù)形結合法:形如將式子左邊看成一個函數(shù), 右邊看成一個函數(shù), 在同一坐標系作出它們的圖象, 觀察其位置關系, 利用解析幾何知識求最值。 求利用直線的斜率公式求形如的最值。

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