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函數有界是什么意思 和極限存在的關系

2023-11-24 14:04:45文/宋艷平

函數有界就是指在函數的定義域內,這個函數的所有函數值的絕對值不會比某個固定的正數M大。顯然這個固定的正數M不是唯一的,比如若有一個正數M1滿足條件,則任何一個大于M1的正數M2也滿足條件,都可以作為定義里的固定數M,就像舉的例子sinx那樣。

函數有界是什么意思 和極限存在的關系

函數有界是什么意思

函數有界性的定義:若存在兩個常數m和M,使函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D ,則稱函數y=f(x)在D有界,其中m是它的下界,M是它的上界。外界函數有界,復合函數必有界。

函數有界,從幾何意義看就是圖形被框定在兩條平行于x軸的直線之間,不會跑出去;從代數意義看,就是函數值不會趨于正無窮大,也不會趨于負無窮大;當時并不意味著有極限,比如y=sinx,被框定在y=±1這兩條直線之間,x→∞時,sinx游走于[-1,+1]之間。

函數有界和極限存在的關系

一、本質不同

1、極限:某一個函數中的某一個變量,在不斷變化的過程中逐漸接近于某個值A。它不可能與a相吻合(“不等于a,但等于a”足以獲得高精度的計算結果)。

這個變量的變化被人為地定義為“永遠靠近而不停止”。它的趨勢是“不斷地極為靠近A點的趨勢”。

2、函數有界:如果有兩個常數m和M,函數y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D,函數y=f(x)有界于d,其中m為下界,M為上界。

二、幾何中的應用不同

1、函數有界有界

(1)函數在某區間上不是有界就是無界,二者必屬其一;

(2)從幾何學的角度很容易判別一個函數有界。如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數的圖形介于它們之間,那么函數一定是無界的。

2、極限

當n>N時,均有不等式|xn-a|<ε成立”意味著:所有下標大于N的Xn都落在(a-ε,a+ε)內;而在(a-ε,a+ε)之外,數列{xn} 中的項至多只有N個(有限個)。

換句話說,如果存在某 ε0>0,使數列{xn} 中有無窮多個項落在(a-ε0,a+ε0) 之外,則{xn} 一定不以a為極限。

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