三角錐和四面體的區別

數學中只有三棱錐和四面體，這兩者本質上是沒有區別的，三角錐只是一種特殊說法。三棱錐是錐體的一種，由四個三角形組成，稱為四面體。底面是正三角形，頂點在底面的射影是底面三角形的中心的三棱錐，稱作正三棱錐。

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外心

若O是△ABC的外心，則OA=OB=OC。由于OP⊥平面ABC（射影的定義），因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又tanPAO=OP/OA，tanPBO=OP/OB，tanPCO=OP/OC，由此可知∠PAO=∠PBO=∠PCO。

綜上，可得到以下定理：

1.當三棱錐的三條側棱相等時，頂點在底面的射影是底面三角形的外心。

2.當三棱錐的三條側棱與底面所成角相等時，頂點在底面的射影是底面三角形的外心。

內心

若O是△ABC的內心，則O到三邊距離相等，且O在△ABC內。設O到BC、AC、AB的垂線段分別為OD、OE、OF，那么OD=OE=OF。由勾股定理得PD=PE=PF。又tanPDO=OP/OD，tanPEO=OP/OE，tanPFO=OP/OF，因此∠PDO=∠PEO=∠PFO。且由三垂線定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB，即∠PDO、∠PEO、∠PFO分別是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。

綜上，可得到以下定理：

1.當三棱錐的頂點到底面三角形三邊距離相等，且頂點在底面的射影在底面三角形的內部，那么射影是內心。

2.當三棱錐的各個側面與底面構成的二面角相等，且頂點在底面的射影在底面三角形的內部，那么射影是內心。