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高一數學知識點

2022-10-31 15:49:16文/周傳杰

有理數全體構成的集合,叫做有理數集,記作Q;(有理數是整數和分數的統稱,一切有理數都可以化成分數的形式。)

高一數學知識點

高一數學必備知識點

集合

一、集合有關概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性:

(1)元素的確定性如:世界上最高的山

(2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

注意:常用數集及其記法:

非負整數集(即自然數集)記作:N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1)列舉法:{a,b,c……}

2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大

括號內表示集合的方法。{x∈R|x-3>2},{x|x-3>2}

3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4)Venn圖:

4、集合的分類:

(1)有限集含有有限個元素的集合

(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

注意:AB有兩種可能(1)A是B的一部分;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A/B或B/A

2.“相等”關系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

實例:設A={x|x2

-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即:①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A≠B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集

二·一般我們把不含任何元素的集合叫做空集。

集合的分類

(1)按元素屬性分類,如點集,數集。(2)按元素的個數多少,分為有/無限集

關于集合的概念:

(1)確定性:作為一個集合的元素,必須是確定的,這就是說,不能確定的對象就不能構成集合,也就是說,給定一個集合,任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。

(2)互異性:對于一個給定的集合,集合中的元素一定是不同的(或說是互異的),這就是說,集合中的任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素。

(3)無序性:判斷一些對象時候構成集合,關鍵在于看這些對象是否有明確的標準。

集合可以根據它含有的元素的個數分為兩類:

含有有限個元素的集合叫做有限集,含有無限個元素的集合叫做無限集。

非負整數全體構成的集合,叫做自然數集,記作N;

在自然數集內排除0的集合叫做正整數集,記作N+或N*;

整數全體構成的集合,叫做整數集,記作Z;

有理數全體構成的集合,叫做有理數集,記作Q;(有理數是整數和分數的統稱,一切有理數都可以化成分數的形式。)

實數全體構成的集合,叫做實數集,記作R。(包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數,有理數就包括整數和分數。數學上,實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。)

1.列舉法:如果一個集合是有限集,元素又不太多,常常把集合的所有元素都列舉出來,寫在花括號“{}”內表示這個集合,例如,由兩個元素0,1構成的集合可表示為{0,1}.

有些集合的元素較多,元素的排列又呈現一定的規律,在不致于發生誤解的情況下,也可以列出幾個元素作為代表,其他元素用省略號表示。

例如:不大于100的自然數的全體構成的集合,可表示為{0,1,2,3,…,100}.

無限集有時也用上述的列舉法表示,例如,自然數集N可表示為{1,2,3,…,n,…}.

2.描述法:一種更有效地描述集合的方法,是用集合中元素的特征性質來描述。

例如:正偶數構成的集合,它的每一個元素都具有性質:“能被2整除,且大于0”

而這個集合外的其他元素都不具有這種性質,因此,我們可以用上述性質把正偶數集合表示為

{x∈R│x能被2整除,且大于0}或{x∈R│x=2n,n∈N+},

大括號內豎線左邊的X表示這個集合的任意一個元素,元素X從實數集合中取值,在豎線右邊寫出只有集合內的元素x才具有的性質。

一般地,如果在集合I中,屬于集合A的任意一個元素x都具有性質p(x),而不屬于集合A的元素都不具有的性質p(x),則性質p(x)叫做集合A的一個特征性質。于是,集合A可以用它的性質p(x)描述為{x∈I│p(x)}

它表示集合A是由集合I中具有性質p(x)的所有元素構成的,這種表示集合的方法,叫做特征性質描述法,簡稱描述法。

例如:集合A={x∈R│x2-1=0}的特征是X2-1=0

高一數學知識點

運算類型交集并集補集

定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).

基本初等函數

一、指數函數

(一)指數與指數冪的運算

1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.

當是奇數時,正數的次方根是一個正數,負數的次方根是一個負數.此時,的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(radicalexponent),叫做被開方數(radicand).

當是偶數時,正數的次方根有兩個,這兩個數互為相反數.此時,正數的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

注意:當是奇數時,當是偶數時,

2.分數指數冪

正數的分數指數冪的意義,規定:

0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義

指出:規定了分數指數冪的意義后,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.

3.實數指數冪的運算性質

(二)指數函數及其性質

1、指數函數的概念:一般地,函數叫做指數函數(exponential),其中x是自變量,函數的定義域為R.

注意:指數函數的底數的取值范圍,底數不能是負數、零和1.

2、指數函數的圖象和性質

函數的應用

1、函數零點的概念:對于函數,把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義:函數的零點就是方程實數根,亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即:

方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

3、函數零點的求法:

求函數的零點:

1(代數法)求方程的實數根;

2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數的圖象聯系起來,并利用函數的性質找出零點.

4、二次函數的零點:

二次函數.

1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數的圖象與軸有兩個交點,二次函數有兩個零點.

2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數的圖象與軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點.

3)△<0,方程無實根,二次函數的圖象與軸無交點,二次函數無零點.

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